فصل ۴ فرمولاسیون عددی و مدل موازنه جمعیتی()
دراین فصل، ابتدا، اطلاعات جزئی مدل موازنه جمعیتی، مدل نیروی بین سطحی و مدل آشفته ارائه می شود. سپس، مدل دو سیالی که به طور گسترده در جریان چند فازی اعمال می شود، توضیح داده شده و سه جمله مهم آن تحت عنوان توزیع اندازه، انتقال مومنتوم بین سطحی و ویسکوزیته آشفته مشخص شده است. این سه جمله بسته می تواند جدا شده و حل شود که در شروع این فصل معرفی شده است.
۴-۱) مدل موازنه جمعیتی()
۴-۱-۱) معادله موازنه جمعیتی[۷۰]
هدف معادله موازنه جمعیتی() توصیف موقعیت فیزیکی ذرات(مختصات خارجی) و تعیین مشخصات ذرات(مختصات داخلی) در فضای حالت خاص است. همانطور که معادله بولتزمن پایه است، چنین معادله ای در کل به فرمت بولتزمن بیان می شود که توزیع اندازه ذرات() را به صورت زیر پیش بینی می کند:
(۱-۴)
در رابطه بالا، تابع شامل بردار داخلی ζ است که بیانگر مشخصات ذره و متغیر خارجی و بیانگر موقعیت فضایی و زمان فیزیکی است. بردار سرعت در فضای خارجی است. چشمه خالص یا جمله چاه بیانگر تغییرات تعداد ذرات به دلیل فرآیندهای ادغام یک شکست است(ANSYS FLUENT-14).
(۲-۴)
در رابطه بالا، و بیانگر نرخ تولد و مرگ به دلیل پیوستگی با سایر حباب های کوچک تر است. به طور مشابه، و بیانگر نرخ تولید و مرگ به دلیل فرایند شکست از ذرات بزرگتر است. مخصوصا، مطالعات زیادی روی فرکانس پیوستگی و فرکانس شکست و گسترش حباب های چشمه یا چاه آن تاکید دارند چون صحت این توصیفات، تاثیر زیادی روی پیش بینی ساختار جریان دو فازی و توزیع اندازه ذرات دارد.
۴-۱-۲) مکانیزم های برخورد حباب
۴-۱-۲-۱) مکانیزم پیوستگی
در شرایط جریان دو فازی، پیوستگی و شکست همزمان رخ می دهد و هر دو در رشد ساختار هندسی و توزیع اندازه ذرات نقش دارند . با این حال، پدیده پیوستگی پیچیده تر از فرایند شکست است (کستر ۱۹۹۱). فعالیت های شکست نه تنها شامل برخورد بین خود حباب هاست( زمانی که به هم فشرده می شوند)، بلکه شامل برخورد حباب ها و گردابه های اطراف آن است. شینر و کرچ(۱۹۶۰) معروف ترین نظریه پیوستگی حباب به نام مدل فیلم تخلیه را ارائه کردند. تحقیق آنها نشان داد که زمانی که برخورد بین دو حباب رخ می دهد، لایه نازکی از مایع بین آنها گیر می افتد. پیوستگی فقط بعد از اینکه فیلم به دلیل نیروهای برخورد بین مولکولی بین دو سطح برخورد، به ضخامت بحرانی می رسد، رخ می دهد. با این حال، هوارث(۱۹۶۴) بیان کرد که نیروی جاذبه بین مولکولی نسبت به نیروی آشفتگی خیلی ضعیف است که روی پیوستگی حباب تاثیر داشته باشد. او تئوری برخورد پرانرژی را ارائه و بیان کرد که بدون اینکه فیلم مایع وجود داشته باشد و زمانی که سرعت نسبی بین حباب های برخوردی بیشتر از سطح بحرانی خاص باشد، نازک تر می شود پیوستگی بلافاصله رخ می دهد . لهر و همکاران(۲۰۰۲) نشان دادند که سرعت های کوچک سبب بازده پیوستگی بالا می شود. در میان تمام نظریه ها، برخورد می تواند به عنوان اولین مرحله پیوستگی در نظر گرفته شود که در مورد سرعت نسبی آنها تصمیم گیری می شود. با این حال، برخوردهای زیادی منجر به پیوستگی نمی شود و بسیاری از آنها بعد از برخورد با هم، از هم جدا می شوند. بنابراین، فراوانی پیوستگی به صورت تابعی از فراوانی برخورد (از سرعت های نسبی بین حباب ها ناشی می شود) و بازده پیوستگی (توصیف احتمال پیوستگی از برخورد) بیان می شود که توسط لیو و همکاران(۲۰۱۰) گزارش شده است.
(۴-۳)
در رابطه بالا، فراوانی برخورد و بیانگر بازده پیوستگی است.
۴-۱-۲-۱-۱) فراوانی برخورد
حرکت برخوردی به دلایل مختلف در جریان آشفته رخ می دهد و تا الان، پنج مکانیزم برخورد در نظرگرفته شده و توسط محققان گزارش شده است(لیو و لوکاس ۲۰۱۰).
این ۵ مکانیزم عبازتند از :
برخوردهای آشفته حرکت- القایی تصادفی،
برخورد شناوری- القایی،
برخورد حلقوی،
برخوردهای گرادیان سرعت / القای برشی،
گرفتار شدن در گردابه آشفته.
در جریان حبابی آشفته، برخورد ناشی از حرکت تصادفی حباب ها به دلیل نوسانات آشفته به عنوان عامل غالب در نظر گرفته می شود. براساس فرض حرکت تصادفی مشابه بین مولکولهای و ذرات سیال، فراوانی برخورد براساس تئوری جنبشی گازهای کرنارد(۱۹۳۸) به صورت زیر در نظر گرفته می شود:
(۴-۴)
در رابطه بالا، مساحت سطح مقطع ذرات برخوردی به صورت زیر تعریف می شود:
(۵-۴)
بسیاری از محققان(کولالاگلو و تاولاریدز ۱۹۷۷، لی و همکاران ۱۹۸۷، پرینس و بلاچ ۱۹۹۰، لیو ۱۹۹۳) سرعت نسبی بین حباب های برخوردی در نظر می گیرد که مشابه سرعت های نسبی گردابه های با اندازه های مساوی است چون گردابه های کوچک انرژی کافی برای تاثیر حرکت حباب ندارد و گردابه های زیادی فقط حباب ها را بدون تاثیر بر حرکت آنها حمل می کنند. بنابراین، سرعت نسبی بین دو حباب متناسب با ریشه مربع متوسط سرعت های گردابه معادل است.
(۶-۴)
علاوه بر این، پرینس و بلاس(۱۹۹۰) بیان کردند که تفاوت اندازه حباب ها ، سرعت حباب و نیروی شناوری حاصل را افزایش می دهد که ممکن است یکی از دلایل برخورد حباب ها باشد. فرم مدل برخورد شناوری –القایی توسط فریدلندر(۱۹۷۷) ارائه شده است.
(۷-۴)
در رابطه بالا، با بهره گرفتن از معادله (۴٫۵) به دست می آید. سرعت نسبی برای معادله (۴٫۷) از سرعت بالا محاسبه می شود که به دلیل نیروی شناوری براساس کلیفت و همکاران(۱۹۷۸) ایجاد می شود.
(۸-۴)
در چندین دهه گذشته، محققان زیادی مشاهدات تجربی جریان حلقوی را گزارش کرده اند. زمانی که حباب های کوچک وارد ناحیه حلقوی سرپوش حباب حاصل می شود، حباب های کوچک تمایل زیادی دارند که با چنین حباب های حاصل شتاب بگیرند. مدلسازی حلقوی در لوله عمودی براساس فرضیه توزیع اندازه یکنواخت توسط وو و همکاران(۱۹۹۸) ارائه شده است:
(۹-۴)
ذرات ممکن است به دلیل نیروی برشی حاصل از گرادیان سرعت با هم برخورد کنند. یک مدل فراوانی برخوردهای برش – القایی توسط فردلندر(۱۹۷۷) ارائه شده است:
(۴-۱۰)
در رابطه بالا φ نرخ برشی است.
کستر (۱۹۹۱) گزارش کرد که اگر اندازه حباب در مقایسه با اندازه گردابه های پراکنده بسیار کوچک باشد ، ویسکوزیته ممکن است نیروی غالب برخورد باشد. با در نظر گرفتن این پدیده جریان، برش محلی جریان در گردابه های آشفته عامل غالب برای تاثیر روی فراوانی برخورد خواهد بود.
(۴-۱۱)
در رابطه بالا، نرخ برشی در گردابه کوچکتر است.(کستر ۱۹۹۱).
۴-۱-۲-۱-۲) فراوانی پیوستگی
آزمایشات فراوانی نشان داد که برخوردهای زیادی منجر به پیوستگی نمی شود و در واقع بسیاری از آنها بعد از تماس از هم جدا می شوند. برای توصیف احتمال وقوع فرایند پیوستگی از تماس برخوردی، مفهوم بازده پیوستگی معرفی می شود. سه مدل وجود دارد که به طور گسترده برای محاسبه بازده پیوستگی استفاده می شود:
مدل فیلم تخلیه[۷۱]،
