(۳-۱۱)
منحنی تاثیر اخبار F(0)، بازنگری در تلاطم شرطی را که در اینجا بوسیله Log () نشان داده میشود، به اخبار مرتبط میکند. این مشخصه نمایی منعکسکننده واکنش نامتقارن نسبت به تغییرات است. زیرا برای داریم: و اگر آنگاه و اگر خبری نباشد. یعنی ، تلاطم در حداقل مقدار خود قرار میگیرد. این عدم تقارن بطور بالقوه سودمند است زیرا این امکان را فراهم میکند که تلاطم با سرعت بیشتری به شرایط بد بازار نسبت به شرایط خوب بازار از خود واکنش نشان دهد. این یک واقعیت تحققیافته در بسیاری از بازارهای مالی است که به عنوان اثر اهرمی شناخته میشود. این مدل توسط نلسون (۱۹۹۰) برای حل محدودیت GARCH (p,q) ارائه شد. نمایش مدل EGARCH(1,1) به صورت زیر است:
(۳-۱۲)
در طرف چپ معادله وجود ln برای واریانس شرطی است و نشانگر آن است که اثر اهرمی بجای اینکه تابعی درجه دوم باشد، بهصورت تابعی نمایی است و وجود این شرط سبب میشود که غیرمنفی بودن واریانس شرطی تضمین شود. وجود اثر اهرمی از نشات میگیرد. این اثر غیرمتقارن است، اگر باشد. حالت تعمیم یافته مدل به صورت زیر نوشته میشود:
(۳-۱۳)
در GARCH نمایی یک فرایند خطی است و مانا در کواریانس بودن را به راحتی نمایان میکند (نلسون، ۱۹۹۱).
۳-۳-۲-۶ مدل EGARCH-M
همبستگی مثبت میان ریسک و بازده در مدل ناهمسانی واریانس شرطی نمایی بصورت زیر میباشد:
(۳-۱۴)
۳-۳-۳ توزیع نوسانات سری زمانی
۳-۳-۳-۱ توزیع نرمال
توزیع نرمال، یکی از مهمترین توزیعهای احتمالی پیوسته در نظریه احتمالات است. علت نامگذاری و همچنین اهمیت این توزیع، همخوانی بسیاری از مقادیر حاصل شده، هنگام نوسانهای طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت با مقادیر حاصل از این توزیع است. دلیل اصلی این پدیده، نقش توزیع نرمال در قضیه حد مرکزی است. به زبان ساده، در قضیه حد مرکزی نشان داده میشود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. این قانون که تحت شرایط و مفروضات طبیعی نیز برقرار است، سبب شده که برایند نوسانهای مختلفِ تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع نرمال آشکار شود(سارنج، ۱۳۹۱).
تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای μ و σ۲ به صورت زیر است
(۳-۱۵)
۳-۳-۳-۲ توزیع تی- استیودنت
تابع چگالی احتمالات Zt بصورت زیر داده شده است:
(۳-۱۶)
در رابطه فوق v تعداد درجه آزادی است و و تابع گاما است. زمانی که توزیع t به سمت توزیع نرمال میل میکند. هر چه v کمتر باشد، دمها پهنتر میشود.
۳-۳-۳-۳ توزیع GED
سریهای زمانی که دارای مشخصه لپتوکورتیک[۱۵۷] (نوک تیز) همراه با دم کلفت[۱۵۸] (کشیدگی بزرگ) میباشند از توزیع GED استفاده میکنند. تابع چگالی توزیع GED بصورت زیر نوشته میشود.
(۳-۱۷)
در رابطه فوق، و تابع گاما است. همچنین k برابر با پارامتر GED که درجه آزادی نامیده میشود و در واقع نشان دهنده چگونگی کلفتی دم است. اگر k=2، GED دارای توزیع نرمال است؛ اگر دم آن باریکتر از توزیع نرمال است و اگردم آن ضخیمتر است(باردواج و سوانسون، ۲۰۱۲).
۳-۳-۴ ارزش در معرض ریسک
۳-۳-۴-۱ ارزش در معرض ریسک (VaR)
VaR بیانگر حداکثر زیان مورد انتظار روی سبد داراییها یا مجموعه سرمایهگذاری در طول افق زمانی معین در شرایط عادی بازار و در سطح اطمینان معین میباشد. به عبارت سادهتر، تفسیر این معیار به صورت ذیل است:
« ما X درصد اطمینان داریم که طی N روز آتی، قطعاً بیشتر از مبلغ V متحمل زیان نخواهیم شد.»
متغیر V همان ارزش در معرض ریسک، یا VaR سبد سرمایهگذاری میباشد که در بردارنده دو پارامتر N یعنی افق زمانی و X یعنی سطح اطمینان است. شکل(۳-۲) محاسبه VaR با بهره گرفتن از توزیع احتمالات تغییرات در ارزش سبد؛ با سطح اطمینان X% را نشان میدهد(جانهال، ترجمه کارگزاری مفید).
شکل (۳-۲): توزیع احتمالات تغییرات در ارزش سبد: محاسبه VaR
به عبارت دیگرVaR، برآوردی از سطح زیان روی یک سبد سرمایهگذاری است، که به احتمال معین کوچکی (در اینجا ۱٪) پیشبینی میشود با آن مساوی شود و یا از آن تجاوز کند.
روش های برآورد VaR به ترتیب زیر میباسد:
۱) روش های پارامتریک؛ شامل مدلهای ریسکمتریک، مدلهایتلاطمچندگانه و مدلهای خانواده GARCH هستند.
۲) روش های ناپارامتریک؛ مبتنی بر فرض عدم وجود توزیع معین هستند و از مهمترین این روشها میتوان به شبیهساز تاریخی، روش هیبریدی و شبیهساز مونت کارلو اشاره نمود.
۳) روش های نیمهپارامتریک؛ بطور کلی برای پیشبینی تلاطم و انحراف معیار از روش های پارامتریک استفاده میشود، در حالی که برای نشان دادن توزیع بازده از روش های نیمهپارامتریک استفاده میگردد. از جمله این مدلها میتوان به تئوری ارزش حدی و مدل GARCH شبه ماکزیمم راستنمایی اشاره نمود(جانهال، ترجمه کارگزاری مفید).
بطور کلی مدلهای پارامتریک، بیشترین کاربرد در بین مدلها را دارند. در بین مدلهای پارامتریک نیز مدلهای خانواده GARCH با درنظر گرفتن ویژگی تلاطم در حال تغییر، بیشترین استفاده را دارند
۳-۳-۴-۲ معیارهای ارزیابی مبتنی بر VaR
۱- توابع زیان مدیریت ریسک
تابع زیان دوتایی[۱۵۹] (BLF)
اگر مقدار VaR پیشبینیشده نتواند زیان واقعی را پوشش بدهد ، این یک “استثنا” نامیده میشود. وزن معادل، مطابق با هر زیانی که بیشتر از VaR تخمین زده شده است.
(۳-۱۸)
اگر مدل VaR واقعاً سطحی از پوشش تعریف شده را بوسیله سطح اطمینان فراهم کند، تابع متوسط زیان دوتایی (ABLF) کل نمونه معادل ۱-c درصد VaR را پوشش خواهد داد. تابع متوسط زیان دوتایی[۱۶۰] یک تخمینی از احتمال مشاهده زیانی بزرگتر از مقدار VaR را فراهم میکند(شیان[۱۶۱]، ۲۰۰۷).
۱-۲ تابع زیان درجه دوم
نیشییما[۱۶۲] (۱۹۹۸) نشان داد که استفاده از اطلاعات اضافی تابع زیان درجه دو گنجاند شده در اندازه “استثنا"، معیار مناسبی از صحت مدل تابع زیان دوتایی است.
(۳-۱۹)
تابع زیان درجه دو در مقایسه با تابع زیان دوتایی"استثناها” جریمه بیشتری میکند.
۲- آزمون LR برای پوشش غیرشرطی (LRuc)
تابع زیان یک برآورد نقطهای از احتمال مشاهده یک زیان بالاتر از مقدار VaR را فراهم می کند. برای بررسی صحت و ارزیابی عملکرد تخمینهای مدل مبتنی بر VaR، چو و همکاران[۱۶۳] (۱۹۹۶) یک آزمون «نسبت احتمالات» را برای آزمایش دقت مدل پیشنهاد داد که مشابه با آزمون فرضیه صفر احتمال شکست برای هر آزمایش () برابر با احتمال مشخص شده مدل (P) است. آماره آزمون نسبت احتمالات بصورت زیر داده شده است(همان):
(۳-۲۰)
در معادله فوق برابر است با تخمین MLE از P، و نشان دهنده یک متغیر تصادفی برنولی که به نمایندگی از تعداد کل استثناهای VaR میباشد. آزمون LRuc میتواند به عنوان یک آزمونی بکار برود که به این سوال پاسخ دهد که آیا برآورد نقطهای نمونه، به لحاظ آماری مطابق با سطح اطمینان تجویز شده مدل VaR است یا نه؟
۳- آزمون LR برای پوشش شرطی (LRcc)
اگرچه آزمون LRuc میتواند یک مدلی که هم بالاتر از حد تخمین زده و هم کمتر از حد تخمین زده را رد بکند، اما VaR واقعی غیرقابل مشاهده است، این آزمون نمیتواند این موضوع را بررسی کند که آیا استثناها بصورت تصادفی توزیع شدهاند یا نه.
در یک چارچوب مدیریت ریسک، این موضوع اهمیت فوقالعادهای دارد که استثناءهای VaR در طول زمان ناهمبسته باشند، که این امر نیازمند آزمونهای پوشش شرطی و مستقل برپایه ارزیابی پیشبینیهای فاصله (بازهای) است.
کریستین[۱۶۴] (۲۰۰۳) یک آزمون پوشش شرطی را توسعه داد که بطور مشترک این موضوع را بررسی میکند که آیا تعداد کل شکستها برابر با آنچه که مورد انتظار بود است و آیا استثناءهای VaR دارای توزیع مستقلی است. در عمل مزیت روش کریستوفرسون این است که آن میتواند مدلی را که بیشتر از حد یا کمتر از حد خوشه استثناها را تولید کرده رد بکند. با داشتن سری بازدهی واقعی (rt) و مجموعه تخمینهای VaR ، متغیر شاخص It میتوان فرمول فوق را بصورت زیر نشان داد(همان):
(۳-۲۱)
از آنجا که برآورد دقیق VaR ، ویژگی پوشش شرطی صحیح است، این سریها باید هم استقلال سری و هم پوشش غیر شرطی صحیح را نشان بدهند.
آزمون LRcc یک آزمون مشترک بین این دو ویژگی است و آماره آزمون مربوطه برابر است با LRcc=LRuc+LRind همانگونه که ما برروی مشاهده اول شرط کردیم. بنابراین تحت فرضیه صفر، استقلال پروسه شکستها مستقل و نسبت انتظاری از استثناءها معادل p خواهد بود. بنابراین نسبت احتمالات مناسب بصورت زیر میباشد(همان).
(۳-۲۲)