نسبت به مرز مشترک و به دنبال آن شناسایی پارمترهای مجهول دارد. اما نقطه ضعف این روش در این است که با بیشتر شدن پارامترهای بهینه سازی، یعنی مختصات مرز مشترک دو ماده در این تحقیق، توانایی الگوریتم در تخمین دقیق‌تر، پایین می‌آید و این ویژگی تنها مختص الگوریتم PSO نیست و در تمام الگوریتم­ها هر چه ابعاد بهینه سازی بالاتر می‌رود، رسیدن به جواب دقیق سخت‌تر خواهد شد، که این مشکل در مسائل الاستیسیته که غیر خطی و بد وضع می‌باشند بیشتر رخ می کند. به همین دلیل در این تحقیق برای کاهش زمان محاسبات و به دست آوردن حل دقیق‌تر از روش PSO تنها برای تخمین حدس اولیه استفاده می‌شود و ادامه محاسبات به روش گرادیان مزدوج واگذار شده است.

روش گرادیان مزدوج در زمره‌ی روش­های بهینه سازی محلی است که می تواند برای تخمین پارامترها، هم برای مسائل خطی و هم برای مسائل غیر خطی بکار رود . روش گرادیان مزدوج همراه با بهره گرفتن از معیار همگرایی در رده­ی روش­های تنظیم تکرار پذیر قرار می­گیرد که این قابلیت در مسائل غیر خطی بد وضع امتیاز ویژه­ای به شمار آمده، از نوسانات شدید و واگرایی مقادیر جلوگیری می­ کند. همچنین این قابلیت، مسئله را از نیاز به توابع تنظیم مستثنی می­دارد . این روش دارای نسخه است که تفاوت آنها در نوع محاسبه جهت­های مزدوج است [۲۲] .
[۲۳] در این مقاله از یک مدل بهینه سازی استفاده شده که از ترکیب روش­های المان مرزی و لونبرگ-مارکارت^[۲۲] بدست آمده است . در اینجا اگر چه الگوریتم مسئله به آسانی به دست می ­آید ولی نتیجه تخمین باید با فاکتور­های زیادی نظیر قیود مساله، مقادیر اولیه، خطای داده ­ها و غیره هماهنگ باشد. چون که مسئله معکوس حالت بد وضع دارد. وقتی قیود مسئله کم باشند یا پارامتر­های اولیه خیلی از مقادیر صحیح­شان دور باشند نتیجه­ غیر عادی حاصل می­ شود. اگر پارامترهای بیشتری در نظر گرفته شود، تضمین اینکه نتیجه­ حل به مقدار یکتا برسد سخت­تر می­ شود. روش فوق برای حل بعضی از مسائل پیچیده اگر حدس اولیه خوبی از پارامترهای مجهول در ابتدا زده شود، روشی موثر و کاربردی است.
در[۲۴] به بررسی روش تکرار المان­های مرزی برای حل مسائل معکوس کوشی به عنوان نمونه ­ای از مسائل معکوس بد وضع پرداخته شده است. در این مقاله به بهبود تابع هارمونیک با بهره گرفتن از داده ­های کوشی در بعضی از قسمت­ های مرز پرداخته است و یک روش معکوس جدید معرفی شده که مسائل کوشی را به اندازه ­گیری مرتب مسائل خوش وضع کاهش می­دهد. الگوریتم المان­های مرزی که در این مقاله آمده است چندین خصوصیت دارد که ابزار موثری برای حل مسائل معکوس کوشی می­باشد. یکی اینکه خاصیت تطبیق پذیری برای موارد دیگر را دارد، مثلا اگر چه مطالعه در مورد معادلات لاپلاس نبوده مانعی وجود ندارد که برای این­گونه موارد و همچنین برای مسائل دو­بعدی و سه بعدی نیز توسعه داده شود. اگر چه این نیاز به شناخت حل اساسی مساله مستقیم دارد. مورد دوم اینکه این الگوریتم در داده ­های زاید پایدار می­باشد. این پایداری به وسیله تکنیک تنظیمی بدست آمده است.
در [۲۵] مساله شناسایی شکل برای یک جسم دارای چند حفره داخلی به روش سریعترین نزول از طریق اندازه گیری مرزی دما و شار حرارتی حل شده است. یکی از مزایای مهم استفاده از روش بهینه سازی بیشترین کاهش این است که این روش می‌تواند مسائلی که دارای تعداد زیادی پارامتر مجهول هستند را به راحتی حل نماید. اعتبار نتایج حاصل از حل معکوس به روش بیشترین کاهش بر مبنای آزمایشات عددی بررسی و تایید شده است. نتیجه مهمی که از این روش بهینه سازی در حل مسئله تشخیص شکل حفره حاصل شده است این است که این روش برای هر شکل دلخواه حفره قابل اعمال است و نتایج رضایت بخشی نیز می‌دهد. همچنین سرعت همگرایی به جواب بسیار سریع است. علاوه بر این‌ها دقت حل مسئله معکوس به شدت به موقعیت سنسورهای اندازه گیری وابسته است. از قرار دادن سنسورها در موقعیت‌های گوناگون نسبت به موقعیت حفره و حل دوباره مسئله در این مقاله نتیجه شده است که هر چه سنسورها نسبت به حفره‌ها نزدیک‌تر چیده شوند، نتایج تخمین زده شده دقیق‌تر هستند.
در [۲۶] با روشی جالب مسئله معکوس را به وسیله معادلات انتگرال مرزی بدون مینیمم کردن مقدار باقی مانده (تابع هدف) بررسی کرده است. هدف این مقاله تخمین موقعیت و شکل یک عیب نامشخص درون یک جسم است که با اطلاعات به دست آمده از اندازه گیری‌های عملی حاصل می‌شود. روش حل این گونه است که با خطی سازی اختلاف بین معادلات انتگرال مرزی برای شکل­بندی مدل اصلی و معادلات مشابه برای شکل­بندی فرض شده اولیه، یک معادله انتگرالی برای تغییرات آن دو به دست می‌آید. این معادلات از اطلاعات مرزی اندازه گیری شده، با روشی خاص این مقاله حل می‌شود و یک تقریب از عیب واقعی زده می‌شود. روش حل این گونه است که در یک فرایند تکراری، در هر مرحله تکرار، مساله معکوس و مستقیم حل می‌شود، اما هیچ الگوریتم مینیمم سازی به کار نمی‌رود. در انتها کارایی این روش با مثال‌های مختلفی بررسی شده است. این روش ابتکاری برای حل مسائل بدخیم به خوبی جواب می‌دهد.
اغلب مقالاتی که مساله معکوس شناسایی را حل کرده‌اند، دارای روشی هستندکه بر مبنای یک الگوریتم بهینه سازی مانند گرادیان مزدوج، BFGS و غیره کار می‌کنند. یک تابع هدف یا باقیمانده به صورت اختلاف مقادیر اندازه گیری شده و مقادیر محاسبه شده تعریف می‌شود و الگوریتم حل به دنبال موقعیت و شکلی از عیوب داخلی می‌گردد که تابع هدف را مینیمم کند، اما در این مقاله از روشی متفاوت بر مبنای معادلات انتگرالی مرزی برای تغییرات شار و پتانسیل استفاده شده است. معادلات انتگرال مرزی تغییرات با بهره گرفتن از تئوری المان مرزی پیشرفته جداسازی شده و از آنجا که تعداد مجهولات کمتر از تعداد معادلات است، دستگاه معادلات جبری حاصل با روش حداقل مربعات^[۲۳] حل می‌شود. این معادلات در صورتی حل می‌شوند که تعداد مقادیر به دست آمده از اندازه گیری فعلی بیشتر از تعداد مجهولاتی باشد که عیوب داخلی را مشخص می‌کنند. در انتها بررسی جالب و منحصر به فردی که برای این مقاله انجام شده است این است که عملکرد این روش برای دو مثال گوناگون از حفره داخل مواد بررسی شده است که در هر یک جواب به دست آمده تحت شرایط متفاوت تست بررسی شده است، یعنی اثر خطای اندازه گیری اطلاعات و خطا در حدس اولیه تعداد حفره‌ها مورد تحلیل قرار گرفته است.
در [۲۷] یک روش موثر برای مشخص کردن هندسه حفره در یک جسم همگن با معادلات انتقال حرارت حالت پایدار و المان­های مرزی ارائه شده است. شار حرارتی و دما برای مرزهای اطراف جسم معلوم در نظر گرفته می­شوند و مرزهای حفره بیضی شکل نیز به صورت بی­درو است.معادلات لاپلاس بر مساله حاکم و در مسئله معکوس با بهره گرفتن از الگوریتم ژنتیک پارامترهای هندسی حفره بیضی شکل تخمین زده می­ شود. نتایج حاصله برای حالت سه بعدی نیز گسترش می­یابد. در این تحقیق از شرایط مرزی، هندسه و الگوریتم ژنتیک ساده استفاده شده است.
در [۲۸] موضوع شناسایی حفره زیر سطحی داخل مواد به وسیله روش عکسبرداری محوری مادون قرمز بررسی شده است. موقعیت و اندازه حفره­های زیر سطحی به وسیله اندازه گیری دما و شار حرارتی بر روی سطح یک ماده رسانای حرارتی تخمین زده شده است. این مقاله نیز در زمینه آزمایشات غیر مخرب جهت شناسایی درونی اجسام کاربرد فراوان دارد.
در [۱۷] هندسه و مشخصات فیزیکی ناخالصی درون یک قاب دو بعدی بوسیله تلفیق سه روش المان مرزی، الگوریتم ژنتیک و گرادیان مزدوج مورد بررسی قرار گرفته است. آنچه در روش ابتکاری بررسی شده در این تحقیق استنتاج شده است که در حل مسائل شناسایی معکوس بسیار حائز اهمیت است و شامل موارد زیر است:
الگوریتم ژنتیک در معرفی یک نقطه بهینه خوب برای شروع کار الگوریتم‌های محلی می‌تواند موثر واقع شود. این توانایی با افزایش پارامترهای بهینه سازی کاهش می‌یابد. برای ناخالصی‌هایی که در کرانه‌های خارجی جسم قرار دارند، تخمین به سختی انجام می‌گیرد. همچنین با افزایش تعداد نقاط اندازه گیری در داده‌های خطادار، خطای تخمین شکل زیاد می‌شود و برعکس مشخصات فیزیکی بهتری به دست می‌آید.
فصل دوم: حل مستقیم معادله الاستو استاتیک برای یک دامنه دارای دو حفره
۲-۱ مقدمه
قدم اول در حل معکوس معادله الاستیسیته، حل مستقیم آن می­باشد. در حل مستقیم]۱[، مجهولات، مقدار ترکشن­ها و جا به ­جایی­ها روی مرزهای دامنه و حفره­ها می­باشد که موقعیت و شکل حفره­ها مشخص است. اما هنگامی که مسئله به صورت معکوس حل می­ شود، مجهولات، موقعیت و شکل حفره­ها هستند و شرایط مرزهای خارجی معلوم هستند. در این فصل به ارائه فرمولاسیون حل مستقیم معادله الاستیسیته به روش المان­های مرزی پرداخته می­ شود.
۲-۲ نظریه اساسی روش المان­های مرزی در مسائل الاستواستاتیک
روش المان­های مرزی یک روش حل عددی می­باشد که اساس آن بر مبنای فرمولاسیون معکوس انتگرال باقی مانده وزنی^[۲۴] روی دامنه مسئله می­باشد. روش­های باقی مانده وزنی را می­توان به صورت کلی آن با در نظر گرفتن معادله عملگر (۲-۱) که معادله حاکم بر یک پدیده فیزیکی می­باشد به صورت زیر تشریح نمود.
۲-۱
در این رابطه A یک معادله دیفرانسیل خطی یا غیر خطی می­باشد که روی متغیر وابسته u در دامنه Ω عمل می­ کند و f تابعی معین با متغیرهای مستقل است. تابع u پاسخ معادله دیفرانسیل است که چون با بهره گرفتن از روش­های عددی به صورت تقریبی بدست آمده، u_N نامیده می­ شود. اختلاف  همواره مخالف صفر می­باشد. این اختلاف به عنوان باقیمانده تقریب نام گذاری می­ شود که هم باید معادله عملگر(۲-۱) و هم شرایط مرزی مرتبط با معادله عملگر را ارضا کند. استفاده از روش­های عددی برای محاسبه تابع u همواره مقداری خطا به همراه دارد. در حل
۲-۲
همواره تلاش بر این است که مقدار باقیمانده تقریب به کمترین مقدار ممکن نزدیک گردد. در روش باقیمانده وزنی u_N به صورت زیر تخمین زده می شود.
۲-۳
در رابطه بالا c_j ضرایبی هستند که باید تعیین گردند و و توابعی از پیش انتخاب شده می­باشند به طوری که شرایط مرزی معین مسئله به وسیله حل تقریبی N پارامتری u_N برقرار گردد. در واقع توابع  می­توانند هر تابع اختیاری که شرایط گفته شده را برآورده کند باشند. در روش باقیمانده وزنی پارامترهای  با الزام صفر شدن باقیمانده R به صورت انتگرال وزنی تعریف می­گردند.
۲-۴
که در این رابطه Ω دامنه و  تابع وزن می­باشد. با جایگذاری توابع وزن در معادله بالا و دوبار انتگرال گیری جزء به جزء و یا استفاده از قضیه دوم گرین(قضیه دیورژانس) به فرمولاسیون معکوس می­رسیم و همانطور که می­دانیم تابع وزن مورد استفاده در فرمولاسیون معکوس که اساس کار در فرمولاسیون روش المان­های مرزی می­باشد، همان حل تکین اساسی(حل تکین اساسی^[۲۵] هر معادله دیفرانسیل حاکم که تابع گرین در فضای آزاد^[۲۶] هم نامیده می­ شود، همان حل معدله دیفرانسیل حاکم به ازای بار ضربه­ای واحد اعمال شده روی دامنه مسئله می­باشد) معادله دیفرانسیل حاکم می­باشد و همچنین با حل دستگاه معادلات ایجاد شده، ثوابت  مورد نظر که به ازای آنها مقدار باقیمانده تقریب، مینیمم می­ شود، محاسبه می­گردد. روش­های عددی گوناگون از توابع وزن مختلفی برای مینیمم کردن انتگرال باقیمانده وزنی استفاده می­ کنند. در واقع تفاوت اساسی که روش­های عددی گوناگون برای حل معادلات دیفرانسیل دارند در توابع وزن مختلفی می­باشد که استفاده می­ کنند. تابع وزنی که روش المان­های مرزی از آن برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده می­ کند، حل اساسی^[۲۷] معادله ناویر^[۲۸] می­باشد. معادله ناویر که معادله تعادل برحسب مؤلفه­ های جا به ­جایی است، به صورت اندیسی زیر نمایش داده می­ شود.
۲-۵
که نحوی محاسبه معادله ناویر (۲-۵) به این صورت است که، با توجه اینکه معادله دیفرانسیل حاکم بر مسئله که همان معادله تعادل استاتیکی است به فرم زیر است
۲-۶
با بیان رابطه بالا بر حسب کرنش و سپس با توجه به رابطه کرنش بر حسب جا به ­جایی، رابطه تعادل بالا بر حسب جا به ­جایی بدست می ­آید که همان معادله ناویر(۲-۵) است.
در رابطه بالا l اندیس داخلی بوده و برای ۱,۲,۳=l ابتدا تغییر نموده سپس j برای ۱,۲,۳=j تغییر می­ کند.  بیانگر نیروهای حجمی در راستای l بوده و  ضریب لامه در الاستسیته می­باشد که به صورت زیر تعریف می­ شود.
۲-۷
در این رابطه E مدول الاستیسیته و  نسبت پواسون می­باشد.
حل اساسی معادله ناویر در واقع پاسخ معادله ناویر است زمانی که تحت بارگذاری متمرکز در نقطه i دامنه در جهت l قرار بگیرد. یعنی
۲-۸
در رابطه (۲-۸) ،  بیانگر تابع دلتای دیراک^[۲۹] می­باشد که در نقطه i به سمت بی­نهایت میل کرده و در سایر نقاط برابر صفر است. از جمله خواص مهم تابع دلتای دیراک می­توان به موارد زیر اشاره کرد
۲-۹
۲-۱۰
استفاده از تابع دلتای دیراک یک روش بسیار مناسب برای نشان دادن بار متمرکز به عنوان نیرو در معادلات دیفرانسیل می­باشد. این پاسخ­های اساسی نخستین بار توسط کلوین^[۳۰] محاسبه شده که برای محاسبه آنها ابتدا جا به ­جایی­ها را بر حسب تابع گالرکین به صورت زیر می­نویسیم.
۲-۱۱
سپس پاسخ­ها را بر حسب تابع گالرکین محاسبه کرده و سپس با تبدیل تابع گالرکین بر حسب جابهجایی در پاسخ­ها، نتایج برای حالت سه بعدی به صورت رابطه (۲-۱۲) می­ شود و برای حالت دو بعدی به شکل رابطه (۲-۱۳) در می ­آید]۱[.
۲-۱۲
۲-۱۳
در روابط بالا  حل اساسی معادله بر حسب جا به ­جایی­ها در راستای k می­باشد زمانی که بار متمرکز در راستای l به نقطه i وارد می­گردد. r بیانگر فاصله نقطه i از نقطه­ای می­باشد که در آن جا به بررسی جا به ­جایی­ها پرداخته می­ شود و  و  به صورت زیر تعریف می­شوند.
۲-۱۴
۲-۱۵
این روابط نشان دهنده نسبت بین تصویر بردار r در جهت­های x₁ ،x₂ و x₃ است که r₁ ، r₂ و r₃ نامیده می­شوند.
شکل شماره۲-۱ : بردار r و مؤلفه های آن
نیز بیان کننده دلتای دیراک می­باشد و زمانی که  باشد برابر یک و در زمانی که  برابر صفر در نظر گرفته می­ شود.
با توجه به حل­های اساسی به دست آمده بر حسب جا به ­جایی­ها می­توان این حل­های اساسی را برحسب ترکشن نیز بسط داد. این روابط به صورت زیر هستند.
۲-۱۶
۲-۱۷
رابطه (۲-۱۶) برای حالت سه بعدی بوده و رابطه (۲-۱۷) برای حالت دو بعدی می­باشد. در روابط بالا  حل اساسی معادله بر حسب ترکشن­ها در راستای k می­باشد زمانی که بار متمرکز در راستای l به نقطه i وارد می­گردد. n₁ ،n₂ وn₃ نیز کسینوس زاویه بین عمود خروجی از سطح و جهت­های اصلی برادارهای مختصات می­باشند.
۲-۱۸
حال با مشخص شدن توابع وزن مورد نیاز، اقدام به تشکیل فرمولاسیون معکوس انتگرال باقی مانده وزنی روی دامنه مسئله می­ شود.
همانطور که ذکر گردید، قدم اول برای تشکیل فرم معکوس انتگرال باقیمانده وزنی، پیدا کردن یک معادله دیفرانسیل حاکم بر مسئله می­باشد. در اینجا معادلات تعادل استاتیکی برای این منظور مورد استفاده قرار می­گیرند. این معادلات به صورت اندیسی به شکل زیر نوشته می­شوند. باید توجه شود که در اینجا ۱,۲,۳=i,j بوده و j اندیس داخلی می­باشد و معادله زیر ابتدا روی اندیس j و سپس روی اندیس i باز می­ شود.
۲-۱۹
با توجه به شکل زیر فرض می شود شرایط مرزی حاکم بر این معادله به صورت زیر باشد.