و  به ترتیب انرژی­های حالت­های و  سیستم هستند و  و  حالت­های میانی با انرژی­های  و  می­باشند که با نیمه­عمرهای  و  متناظر هستند.  و  به ترتیب عملگرهای هامیلتونی برای میدان­های تابش فرودی و ثانویه هستند.

بر اساس تقریب دوقطبی این عملگرها به صورت ساده زیر می‌باشند:
(۳-۱۹) 
که  جرم الکترون آزاد است.
سطح مقطع دیفرانسیلی رامان را با محاسبه عناصر ماتریسی که در رابطه (۳-۱۸) ظاهر می­شوند ارزیابی می­کنیم. با بهره گرفتن از عملگر هامیلتونی میدان تابشی رابطه (۳-۱۹) و تابع موج متناظر با الکترون محبوس در نقطه کوانتمی مورد نظر عناصر ماتریسی زیر نتیجه می‌شوند
(۳-۲۰)
علامت  قطبش دایره­ای را نشان می­دهد.
(۳-۲۱)
که در آن
(۳-۲۲)
با توجه به قطبش میدان­های تابشی فرودی و گسیلی و همچنین قواعد گزینش، جذب یا گسیل یک فوتون فقط بین حالت­های خاصی می ­تواند اتفاق بیفتد. که در اینجا حالت­  برای قطبش راست‌گرد و  برای حالت چپ‌گرد رخ دهد. فوتون فرودی با انرژی  به با نقطه کوانتمی برهمکنش نموده و با کندن الکترون، فوتون تابشی ثانویه با انرژی  ایجاد می­ کند.
روابط انرژی حالت­های ابتدایی و نهایی به­ صورت زیر است:
(۳-۲۳)
همچنین برای حالت­های میانی دو حالت وجود دارد:
الف) فوتون فرودی الکترون را جذب می­ کند و سرانجام فوتون تابشی ثانویه را گسیل می­ کند.
ب)فوتون تابشی ثانویه الکترون گسیل می­ کند و بعد فوتون فرودی را جذب می­ کند، می­توان نوشت:
(۳-۲۴)
با بهره گرفتن از معادلات بالا از وابستگی قطبش به تابش فرودی و گسیلی، می­توان عباراتی را برای سطح مقطع دیفرانسیلی نتیجه گرفت:
(۳-۲۵)
(۳-۲۶)  که کمیت­های به کار گرفته شده در معادلات (۳-۲۵) و (۳-۲۶ ) به صورت زیر تعریف می­ شود:

(۳-۲۷)
(۳-۲۸)
نگاهی مختصر در معادلات (۳-۲۵ تا ۳-۲۸) نشان می­دهد که طیف گسیلی باید دو نوع قله داشته باشد:
۱) قله­های تشدید شده:  که  برای قطبش­های  و  و  برای قطبش­های  و  وجود دارد. این پیک­ها  در شکل نشان داده شده، روشن است که در انتقالات  باید بزرگتر از  باشد.
۲)پیک­های پله­وار:  که  ،  ،  ،  به ترتیب برای قطبش­های  ،  ،  و  . همچنین اگر  باشد می­توان وقتی  است، تکینگی را مشاهده کرد.
۳-۳ محاسبات عددی
در این تحقیق برای سهولت در محاسبات از واحدهای ریدبرگ مؤثر استفاده کرده­ایم. به‌طوری‌که از  ، شعاع موثر بوهر، به عنوان واحد طول و  ،ثابت ریدبرگ موثر، به عنوان واحد انرژی استفاده نموده‌ایم. برای محاسبه میدان مغناطیسی از کمیت بدون دیمانسیون  استفاده می‌کنیم که در آن واحد میدان مغناطیسی بر حسب تسلا خواهد بود.
انرژی­های مختلف برای  های متفاوت بدست آمدند و نمودار انرژی بر حسب تابعی از  به صورت زیر رسم شده‌است:
شکل ۳-۲ : نمودار انرژی  زیر نوارهای  نقطه کوانتمی دیسک شکل بر حسب شعاع به ازای  .
با افزایش شعاع نقطه کوانتمی، ترازهای انرژی کاهش یافته و به هم نزدیک می­شوند و در حد شعاع­های خیلی بزرگ به سمت انرژی الکترون آزاد میل می­­نماید و این بدان علت است که افزایش شعاع، کاهش محدودیت کوانتمی را در پی داشته و کاهش محدودیت کوانتمی سبب کاهش ترازهای انرژی شد و ترازهای انرژی را از حالت گسسته به حالت پیوسته سوق می­دهد.
همچنین انرژی­های مختلف برای  های متفاوت بدست آمدند و نمودار انرژی بر حسب تابعی از  به صورت زیر رسم شده‌است:
شکل ۳-۳ : نمودار انرژی  زیر نوارهای  نقطه کوانتمی دیسک شکل بر حسب میدان مغناطیسی به ازای  .
با افزایش  به عنوان قدرت میدان مغناطیسی، بعضی از ترازهای انرژی به هم نزدیک می­شوند و برخی بدون این­که هم‌دیگر را قطع کنند از هم دور می­شوند و برخی هم‌دیگر را قطع کرده و باز از هم فاصله می‌گیرند، این اثر را تقاطع^[۲۹] و پادتقاطع^[۳۰] گویند. این بدان علت است که افزایش میدان مغناطیسی، افزایش محدودیت کوانتمی را در پی داشته و در نتیجه ویژه مقدارهای انرژی با افزایش میدان تغییر می‌کنند.
تغییرات سطح مقطع پراکندگی به صورت تابعی از انرژی فوتون پراکنده شده و مقادیر مختلف شعاع، میدان مغناطیسی و همچنین قطبش­های متفاوت در نمودارهای زیر ترسیم شده است.
با توجه به نمودارهای زیر ملاحظه می­ شود که با تغییر قطبش تعداد خطوط تغییر می­ کند و این نشان می‌دهد که تغییر قطبش میدان الکترومغناطیسی خارجی، قاعده گذار را تغییر داده و در نتیجه گذارهای مختلفی اتفاق می­افتد، بنابراین با تغییر قطبش امواج تابانده شده و پراکنده شده، مکان قله­ها و همچنین اندازه قله­ها تغییر می­ کند.
شکل ۳-۴: طیف گسیلی نقطه کوانتمی دیسک شکل برای قطبش  به صورت تابعی از انرژی فوتون پراکنده شده و دو مقدار مختلف  .
شکل ۳-۵ : طیف گسیلی نقطه کوانتمی دیسک شکل برای قطبش  به صورت تابعی از انرژی فوتون پراکنده شده و دو مقدار مختلف  .
با توجه به نمودارهای (۳-۴) و (۳-۵) ملاحظه می­ شود که با افزایش میدان مغناطیسی قله­ها به سمت انرژی­های بیشتر سوق کرده و اندازه آن­ها تغییر می­ کند. میدان مغناطیسی محدودیت کوانتمی وارد به حامل­های بار را افزایش داده و در نتیجه قله­ها را به­سمت انرژی­های بیشتر منتقل می­ کند، علاوه بر این میدان مغناطیسی احتمال گذار بین حالت­های مختلف را تغییر داده و در نتیجه اندازه قله­ها نیز تغییر می‌کند.
شکل ۳-۶: طیف گسیلی به صورت تابعی از انرژی فوتون پراکنده شده، برای دو مقدار مختلف از شعاع نقطه کوانتمی و قطبش  .

شکل ۳-۷: طیف گسیلی به صورت تابعی از انرژی فوتون پراکنده شده، برای دو مقدار مختلف از شعاع نقطه کوانتمی و قطبش  .
با توجه به نمودارهای فوق ملاحظه می­ شود که با افزایش شعاع، مکان قله­ها و اندازه قله­ها تغییر می­ کند، همانطور که قبلأ توضیح داده شد، افزایش شعاع محدودیت کوانتمی را کاهش داده و در نتیجه قله­ها را به‌سمت انرژی­های کمتر سوق می­دهد. علاوه بر این افزایش شعاع، گسترش تابع موج در فضا را افزایش داده و در نتیجه احتمال گذار بین حالت­ها را تغییر می­دهد، بنابراین اندازه قله­ها تغییر می­ کند.
فصل چهارم

نتیجه ­گیری و پیشنهادات
۴-۱ نتایج
در فصل دوم، فرمول‌بندی پراکندگی رامان در سیستم‌های کوانتمی نیم‌رسانا از قبیل چاه کوانتمی، سیم کوانتمی، سیم چاه کوانتمی و نقطه کوانتمی را ارائه داده و تغییرات سطح مقطع دیفرانسیلی را بر حسب انرژی فوتون پراکنده شده ترسیم نموده و تاثیر اندازه را بر آن مورد بررسی قرار دادیم. با توجه به نتایج بدست آمده ملاحظه نمودیم که:
افزایش عرض چاه کوانتمی تعداد حالت‌های مقید را افزایش داده و درنتیجه اجازه پیدایش تکینگی‌های جدید در طیف پراکندگی را می­دهد .
با افزایش انرژی تابش فرودی، علاوه بر قله­های قدیم، قله‌های جدیدی در طیف گسیلی ظاهر می‌شود. این نیز بدان علت است که افزاش انرژی نور فرودی این امکان را برای زوج الکترون-حفره بوجود می‌آورد تا زیر نوارهای جدیدی را اشغال نمایند. علاوه براین، شدت تکینگی­های مختلف به شدت نور تابشی برای قطبش  بستگی ندارد.
با توجه به نتایج مربوط به چاه سیم کوانتمی دیدیم که مکان، اندازه و تعداد قله‌ها وابسته به شعاع سیم کوانتمی بوده و با تغییر شعاع مکان، اندازه و تعداد آنها تغییر می‌کند. علاوه‌براین، ملاحظه نمودیم که شدت قله‌های طیف گسیلی کاهش یافته و قله­های مربوط به گذارهای الکترونی بزرگتر از قله­های مربوط به گذارهای حفره است. این ناشی از این حقیقت است که حفره دارای جرم مؤثر بزرگتر از الکترون و همچنین دارای جابجایی نوار کمتری است.
در مورد طیف نقطه کوانتمی دیدیم که اگر طیف چاه­سیم کوانتمی و نقطه کوانتمی را بدست آورده و با هم مقایسه کنیم خواهیم دید که نوارها در نقطه کوانتمی گسسته­تر از چاه­سیم کوانتمی است.
در فصل سوم ترازهای انرژی را بر حسب شعاع­های متفاوت نقطه کوانتمی و اعمال میدان­ مغناطیسی متفاوت جداگانه مورد بررسی قرار دادیم و نتایج زیر را به‌دست آوردیم

• • افزایش شعاع نقطه کوانتمی، ترازهای انرژی کاهش یافته و به هم نزدیک می­شوند و در حد شعاع­های خیلی بزرگ به سمت انرژی الکترون آزاد میل می کند. این بدان علت است که افزایش شعاع، کاهش محدودیت کوانتمی را در پی داشته و کاهش محدودیت کوانتمی سبب کاهش ترازهای انرژی شده و ترازهای انرژی را از حالت گسسته به حالت پیوسته سوق می­دهد.

• • با افزایش میدان مغناطیسی، بعضی از ترازهای انرژی به هم نزدیک می­شوند و برخی بدون این­که هم‌دیگر را قطع کنند از هم دور می­شوند و برخی همدیگر را قطع کرده و باز از هم فاصله می­گیرند، این اثر را تقاطع و پادتقاطع گویند.

• همچنین طیف گسیلی بر حسب انرژی با قطبش­های مختلف را مورد بررسی قرار داده و به نتایج زیر رسیدیم که تعداد قله­ها با تغییر قطبش تغییر می­ کند. تغییر قطبش تغییر قاعده گزینش را در پی داشته و در نتیجه با تغییر قطبش، حالت­های نهایی تغییر کرده و در نتیجه تعداد قله­ها و مکان آن­ها تغییر می­ کند.