۳-۱) معرفی مدل های گارچ
۳-۱-۱) ناهمسانی واریانس[۳۳]
یک مدل رگرسیون با متغیر وابسته Y و متغیر مستقل X را به صورت زیر در نظر بگیرید:
Y=b+aX+
که جز اخلال را بیان می کند. a و b نیز پارامترهای مدل هستند. عموما فرض می شود که اجزا اخلال در n مشاهده برای توزیع احتمال دارای میانگین صفر و واریانس برابرند. این شرط به اسم همسانی واریانس[۳۴](واریانس های برابر) شناخته می شود.
شکل(۱) تصویری از همسانی واریانس را نشان می دهد.
شکل ۱٫ مثالی از واریانس همسانی
مشاهدات و و در نظر گرفته شده اند. اگر جزاخلال وجود نداشت ارزش مشاهدات برابر هر یک از دایره های توخالی بود. اما به علت وجود جز اخلال، مشاهدات در مقادیر نشان داده شده با دایره های توپر قرار می گیرند.
در برخی موارد، جز اخلال برای مشاهدات مختلف در طول خط رگرسیون، دارای واریانس متفاوت می باشد. این موضوع در شکل (۲) نشان داده شده است.که این یک مثال برای ناهمسانی واریانس(واریانس های نابرابر) می باشد.
شکل۲. مثالی از واریانس ناهمسانی
شکل (۲) موردی را نشان می دهد که جز اخلال با افزایش X افزایش می یابد. به بیان ریاضی همسانی و ناهمسانی واریانس می توانند به صورت زیر تعریف شوند:
همسانی : برابر برای همه مشاهدات
ناهمسانی : نابرابر برای مشاهدات
باید توجه کرد که ناهمسانی واریانس فقط یک نوع نشان داده شده در شکل نمی باشد و به هر موردی که واریانس توزیع احتمال اجزا توزیع برای مشاهدات برابر نباشد اطلاق می گردد.
اگر ناهمسانی واریانس در مدل وجود داشته باشد، آنگاه ضرایب برآوردی رگرسیون اشتباه خواهند بود زیرا آنها با فرض همسانی واریانس محاسبه شده اند.
۳-۱-۲)مدل های گارچ یک متغیره[۳۵]
۳-۱-۲-۱) مدل آرچ(ARCH[36])
انگل(۱۹۸۲)[۳۷] اولین مدلی که به اسم آرچ نامیده شد را پیشنهاد کرد که چهارچوبی برای مدل های بی ثباتی فراهم نمود. ایده پایه ای آرچ دو فرض است:
۱٫ ها به صورت پیاپی ناهمبسته ولی وابسته اند.
۲٫ وابستگی می تواند به وسیله یک تابع درجه دوم ساده از وقفه های قبل آن تعریف شود.
به طور کلی مدل آرچ(q) به صورت زیر تصریح می شود:
که در آن:
یک دنباله از متغیرهای تصادفی iid با میانگین صفر و واریانس یک می باشد.
واریانس شرطی فرایند تعریف می شود.
q مرتبه مدل آرچ می باشد.
از آنجا که باید واریانس مثبت باشد لازم است که >0 و برای هر i>0
اغلب در عمل دارای توزیع نرمال یا tاستیودنت فرض می شود.
۳-۱-۲-۲) اشکالات مدل آرچ
مدل آرچ با ایده آل فاصله زیادی دارد. بعضی مشکلات آن به صورت زیر می باشد:
الف) شواهد تجربی به منظور به دست آوردن الگوهای پویای مناسب در بی ثباتی شرطی، اغلب q بزرگ را برای مدل آرچ پیشنهاد می کنند.
-
- ساختار مدل به صورتی است که بی ثباتی به مربع شوک های گذشته وابسته است. بنابراین طبق این فرض ها شوک های منفی و مثبت تاثیر یکسان بر بی ثباتی دارد. در حالی که عملا مشهور است که بی ثباتی بازار سرمایه پاسخ متفاوتی به شوک های خوب و بد می دهد.
-
- مدل آرچ فقط یک راه برای مدلسازی بی ثباتی شرطی فراهم می کند و تلاشی برای توضیح چرایی رفتار مشاهده شده نمی کند.
۳-۱-۲-۳) مدل گارچ
به منظور فائق آمدن بر برخی از پیامدهای مدل آرچ، مدل آرچ تعمیم یافته یا گارچ توسط بلروسلو(۱۹۸۶)[۳۸] پیشنهاد شد.
تصریح فرایند GARCH(p,q) به صورت زیر می باشد:
که
پارامترهای هستند که بایستی برآورد شوند.
q تعداد وقفه های جملات اخلال می باشد.