شکل ۳-۲۳ بهبود عملکرد واحد D، واحد B را از کارایی می اندازد.
اگر برای سادگی، ورودی همه واحدها ثابت و مساوی با یک فرض شود (این فرض محدود کننده نخواهد بود و در قسمت واپسین این بخش کنار گذاشته می شود)، در آن صورت مختصات هر نقطه متناظر با یک واحد تصمیم گیری، تنها بر اساس خروجیهایش نمایش داده می شود. لذا مختصات نقطه D و D’’ می شود:
D (y1D , y2D )
D’’(y1D*(1+α), y2D*(1+α))
α میزان افزایش خروجی اول و دوم واحدD است که موجب بهبود عملکرد و ارتقاء کاراییاش شده است از آنجا که استراتژی واحد D قبل و بعد از بهبود عملکرد مشابه فرض شده لذا واحد مذکور روی خط گذرا از مبدأ موقعیت خود را به نقطه D‘’ می رساند. به عبارت دیگر، واحد D برای رسیدن به نقطه D'’، عملکرد خود را به میزان ۱۰۰α% بهبود بخشیده است. مثلاً اگر مقدار α برابر با ۰٫۳ باشد، بدان معناست که واحد D با ۳۰% ارتقاء عملکرد به نقطه D'’ رسیده است. براین اساس طبق تعریف، مقدار ۱۰۰α حاشیه امنیت واحد B نسبت به واحد D بر حسب درصد خواهد بود. پس باید مقدار α را به دست آورد.
برای به دست آوردن مقدار α، کافی است که مختصات نقطه D'’ را که در بالا بیان شد، در معادله خط AB قرار داد. اما قبل از آن توجه به این نکته ضروری است که مختصات هر نقطه روی پاره خطی مثل AB یا امتداد آن به صورت میانگین موزون مختصات نقاط دو سر پاره خط (A,B )، به نحوی که مجموع اوزان برابر با یک باشد، تعریف می گردد. بر این اساس اگرمختصات نقاط A,B به صورت زیر باشد:
A(XA , YA) B(XB , YB)
در آن صورت مختصات نقطه C روی پاره خط AB یا امتداد آن می شود:
C((λAXA+ λBXB) , (λAYA+ λBYB))
به طوری که:
λA + λB = ۱
نکته ۱) چنانچه λA , λB با شند در آن صورت نقطه C روی پاره خطAB قرار می گیرد.
نکته ۲)چنانچه = ۰ λA باشد آنگاه نقطه C، منطبق با نقطه B و چنانچه = ۰ B λ باشد منطبق با نقطه A می شود.
نکته ۳) چنانچه < 0 λA باشد در آن صورت نقطه C در امتداد پاره خط AB ( نه بین دو نقطه A,B )به سمت نقطه B قرار می گیرد.
نکته ۴) چنانچه < 0 λB باشد در آن صورت نقطه C در امتداد پاره خط AB ( نه بین دو نقطه A,B )به سمت نقطه A قرار می گیرد.
اینک با توجه به شکل ۳-۲۳ مشخص است که نقطه D‘’ در امتداد پاره خط AB به سمت B قرار دارد. بنا براین در چنین نقطه ای وزن نقطه A منفی است، یعنی < 0 λA . به طور کلی مختصات هر نقطه روی امتداد خط AB در سمت B به صورت زیر بیان می شود:
(λAy1A+ λBy1B , λAy2A+ λBy2B)
λA + λB = ۱
λA ≤ ۰
با قرار دادن مختصات نقطه D'’ در رابطه فوق خواهیم داشت:
y1D*(1+α) = λAy1A+ λBy1B
y2D*(1+α) = λAy2A+ λBy2B
λA + λB = ۱
λA ≤ ۰
با حل دستگاه سه معادله – سه مجهول فوق، مقدار α، λA و λB به دست می آید.
برای به دست آوردن مدل کلی، توجه به این نکته ضروری است که مرز کارا می تواند نقاط گوشه متعددی داشته باشد که هر کدام متناظر با یک واحد کار باشد، مانند نقطه C در شکل ۳-۲۴ . در مدل کلی ارائه شده به این نکته توجه شده و در آنجا، تفاوتی میان نقطه کارای A (که مجاور با B و در سمت مخالف D قرار دارد) با سایر نقاط مرز کارا مشاهده نمی شود. به عبارت دیگر، مدل به نحوی است که برای حل آن، نیاز به تشخیص نقطه کارای مجاور با B و سمت مخالف D وجود ندارد و این، سادگی استفاده از مدل را نشان میدهد.
در شکل ۳-۲۴ مکان هندسی نقاطی نشان داده شده است که از میانگین موزون تمام نقاط روی مرز کارا حاصل میشوند و وزن تمام نقاط، به جز واحد مورد بررسی B، منفی است.
شکل ۳-۲۴ مکان هندسی نقاطی که از جمع موزون تمام نقاط کارا به دست میآیند و فقط وزن نقطه B مثبت است.
اثبات می شود که مختصات هر نقطه از فضای هاشورخورده شکل ۳-۲۴ به قرار زیر است:
(, ) = (λAy1A+ λBy1B + λCy1C, λAy2A+ λBy2B + λCy2C)
= λA + λB + λC = ۱
λA , λC ≤ ۰
n یعنی تعداد واحدهای روی مرز کارا
یعنی اندیس واحدهای روی مرز کاراj
چنانچه واحد D عملکرد خود را ارتقاء دهد طوری که خود را به فضای هاشورخورده برساند، واحد B کارایی خود را از دست خواهد داد.
اگر فرض شود که واحد D عملکرد خود را به میزان α بهبود بخشیده تا به نقطه D‘’ رسیده باشد (خروجیهایش را ۱۰۰α% افزایش داده باشد) در اینصورت مختصات آن همان طور که قبلاً گفته شد، برابراست با (y1D*(1+α), y2D*(1+α)). برای آنکه این نقطه در فضای هاشورخورده قرار گیرد؛ باید :
y1D*(1+α) = λAy1A+ λBy1B+ λCy1C
y2D*(1+α) = λAy2A+ λBy2B+ λCy2C
λA + λB + λC = ۱
λA , λC ≤ ۰
دستگاه فوق، یک دستگاه سه معادله – چهار مجهول است و بینهایت جواب دارد. هرکدام از جوابهای آن با یکی از نقاط امتداد خط OD'’ ( با توجه به فرض ثبات استراتژی واحد D )، در سمت D'’ متناظر است. نقطه D'’ متناظر با جوابی است که حداقل α را به همراه دارد. چنین α-ی بر اساس تعریف حاشیه امنیت کارایی، در محاسبه این پارامتر مورد استفاده قرار می گیرد. لذا سنجش حاشیه امنیت کارایی واحد B نسبت به واحد D نیازمند حل مدل زیر است:
min α, subject to:
y1D*(1+α) = λAy1A+ λBy1B+ λCy1C
y2D*(1+α) = λAy2A+ λBy2B+ λCy2C
λA + λB + λC = ۱
λA , λC ≤ ۰