(۲-۷۴)
مرتبه ماتریس برابر است و بیان می کند که ماتریس یکتایی با رتبه به گونه ای وجود دارد که
(۲-۷۵)
در حقیقت ماتریس فضای صفر ماتریس را تشکیل می دهد. حال ماتریس با مرتبه را به شکل زیر فرض می نماییم:
(۲-۷۶)
بنابراین معادله (۲-۷۵) به شکل زیر قابل بیان است:

(۲-۷۷)
با توجه به اینکه ماتریسی از مرتبه کامل است، خواهیم داشت:
(۲-۷۸)
(۲-۷۹)
مطابق معادله بالا مقادیر ویژه ماتریس برابر با عناصر قطری ماتریس و بردارهای ویژه ماتریس برابر با ستون های ماتریس می باشد.
مطالب بیان شده در حقیقت، اصول مهم روش را مطرح کردند. روش های بسیار زیادی به منظور محاسبه از روی اطلاعات به دست آمده از آرایه وجود دارد که از مشهورترین آن ها می توان به
اشاره نمود.
۲-۴-آنتن های آرایه ای
با بهره گرفتن از آرایه ای از سنسورها می توان زاویه ورود سیگنال را تشخیص داد. ساده ترین مثال برای آنتن آرایه ای، آرایه خطی است. آرایه سنسورها معمولاً با دو پارامتر مشخص می گردد یکی محل قرارگیری سنسورها و دیگری پاسخ ضربه هر سنسور. شایان ذکر است که مشخصات پاسخ شبکه هر سنسور خود، پارامتر دامنه هر المان و شیفت فاز می باشد. برای سادگی، فرض بر این است، بدون قرارگیری دیگر سنسورها، هر سنسور دارای بهره ای^[۵۵] برابر یک و بدون شیفت فاز باشد. مطابق شکل (۲-۵) تعداد سنسور در فاصله از یکدیگر به صورت خطی توزیع شده و سیگنال دریافتی با زاویه وارد می گردد.
d
شکل ۲-۵- آرایه خطی
اگر سیگنال دریافتی با زاویه وارد گردد و فاصله سنسورها از هم باشد، فاصله مکانی بین سیگنال ارسالی تا دو سنسور مجاور به شکل زیر به دست می آید:
(۲-۸۰)
که در آن فاصله بین دو سنسور همسایه است. در این حالت سرعت انتشار سیگنال ارسالی معادل خواهد بود و، تاخیر زمانی دریافت سیگنال، توسط دو سنسور مجاور به صورت زیر محاسبه می گردد:
(۲-۸۱)
در رابطه مذکور، معادل طول موج سیگنال و فرکانس سیگنال حامل می باشد. در صورتی که فاصله سنسورها باشد، معادله به صورت زیر تعریف خواهد شد:
(۲-۸۲)
با توجه به فرمول بالا، میزان شیفت فاز سیگنال از رابطه زیر به دست می آید:
(۲-۸۳)
در صورتی که سیگنال ارسالی، سیگنال دریافتی، نویز جمع شونده، پاسخ آرایه، تعداد آرایه ها و تعداد سیگنال ارسالی باشد، خواهیم داشت:
(۲-۸۴)
(۲-۸۵)
در معادله (۲-۸۱)، اگر باشد، در این صورت به گونه ای که
(۲-۸۶)
که این حالت را بدنمایی فضایی^[۵۶] می نامند. در چنین شرایطی، منابع سیگنال ارسالی که در زاویه ورود و واقع شده باشند، توسط آرایه آنتن ها به صورت یک زاویه شناسایی می گردد. در واقع آرایه آنتن، قابلیت تفکیک زاویه ورود و از یکدیگر را نداشته و اصطلاحاً گفته می شود که این دو زاویه الیاس فضایی^[۵۷] یکدیگرند. به منظور توضیح این پدیده، آرایه خطی از سنسورها در راستای صفحه موج یک سیگنال باند باریک، که توسط منبع بسیار دوری تولید گردیده است را در نظر گرفته و زاویه ورود سیگنال را، فرض
می نماییم، در این صورت میدان موج^[۵۸] دریافتی در راستای آرایه، یک موج سینوسی جلورونده با طول موج ، خواهد بود.( مطابق شکل( ۲-۶)).
شکل ۲-۶- نمونه برداری فضایی از سیگنال ارسالی توسط آرایه خطی از آنتن ها
در حقیقت، یک آرایه خطی از آنتن ها، از میدان موج ارسالی به صورت فضایی، نمونه برداری می نماید. طبق قضیه نمونه برداری نایکوئیست، اگر فاصله زمانی (پریود) نمونه برداری، بزرگتر از نصف طول موج باشد، بدنمایی فضایی^[۵۹] رخ خواهد داد. با در نظر گرفتن ، به منظور جلوگیری از بدنمایی فضایی در آرایه ای از آنتن های خطی به ازای کلیه ها، فاصله بین دو سنسور مجاور می بایست کوچکتر یا مساوی باشد ().
اگر سیگنال مکان – زمان ارسالی، توسط یک آنتن روزنه ای^[۶۰] پیوسته (آنتن آرایه ای پیوسته) در راستای محور مشاهده گردد، خروجی آنتن را می توان به شکل زیر نمایش داد:
(۲-۸۷)
که در آن ، تابع وزن دهی آنتن روزنه ای می باشد. طیف سیگنال مشاهده شده، توسط رابطه زیر به دست می آید:
(۲-۸۸)
که در آن ، طیف تابع وزن دهی آنتن روزنه ای می باشد. برای یک آنتن روزنه ای خطی گسترده شده به طول ، تابع وزن دهی به شکل زیرتعریف می گردد:
(۲-۸۹)
و طیف تابع وزن دهی به صورت معادله زیر به دست می آید:
(۲-۹۰)
مطابق رابطه (۲-۹۰) اولین مقدار صفر تابع ، در
(۲-۹۱)
حاصل می گردد. دو منبع ارسال سیگنال کاملاً نزدیک به هم، در صورتی قابل شناسایی می باشند که عدد موج های آن ها حداقل، از یکدیگر، فاصله داشته باشد. که این رابطه را معیار ریلی^[۶۱] می نامند. معیار ریلی در حقیقت برای مقایسه میزان دقت تفکیک پذیری دو آرایه آنتن استفاده می گردد. برای موج
جلو رونده ای که با مشخصات ، توسط آنتن آرایه ای خطی با فاصله فضایی نصف طول موج بین سنسورها، دریافت می گردد، معیار ریلی به شکل زیر قابل تعریف خواهد بود:
(۲-۹۲)
و برای مقادیر بزرگ ، رابطه فوق را می توان به شکل زیر تقریب زد:
(۲-۹۳)
۲-۵- مدل سیگنال