بهطوریکه.fⁿ_{(x) = x} کوچ ترین عددی که در رابطه فوق صدق م کند را دورهی تناوب نقطهیx م نامیم.مجموعهی تمام نقاط تناوبf را با ₍Per(_f نمایش م دهیم.
تبصره ١.١.۴. اگر در تعریف فوق _۱=n ، آن اهx را نقطهی ثابت ن اشتf م نامیم، مجموعه نقاط ثابت ن اشتf را با ₍Fix(_f نمایش م دهیم. بنابراین

Fix(f) = {x ∈ X : f(x) = x}.
تعریف ١.١.۵. زیرمجموعهیA ازX را نسبت بهf ، پایای پیشرو گوییم هرگاهf_(A) ⊆ A .
مثال ١.١.۶. مجموعهی ₍O⁺_(x,f پایای پیشرو م باشد زیرا
O⁺(x,f) = {fⁱ(x) : i ∈ N ∪ {۰}}.
بنابراین اگرf روی ی نقطه دلخواه از ₍O⁺_(x,f مانند ₍f^j_(x اثر کند، داریم
f(f^j(x)) = f^j+1(x).
از طرف چون (f^j(x متعلق به (O⁺(x,f است، پس {۰}∪j ∈ N ، بنابراینj + ۱ ∈ N . یعن =((f(f^j(x
.f(O⁺(x,f)) ⊆ O⁺(x,f) درنتیجهf^j+1(x) ∈ O⁺(x,f)
لم ١.١.٧. اگرA ی مجموعهی پایای پیشرو باشد، آن اه ^¯A هم پایای پیشرو است (^¯A بستارA م باشد.)برهان. م دانیم که ₍f_(A) ⊆ f_(A م باشد. چونA ی مجموعه پایای پیشرو است لذا
f(A) ⊆ f(A) ⊆ A ⇒ f(A) ⊆ A.
حال به بررس مجموعه نقاطω -حدی، تعاریف و قضایای پیرامون آن م پردازیم.
تعریف ١.١.٨. فرض کنید که (X,d) ی فضای متری وf : X → X ی ن اشت پیوسته باشد. نقطهیy ∈ X
را ی نقطهیω -حدی ازx گوییم هرگاه دنبالهای از اعداد صحیح مثبت مانند {n_k} موجود باشد بهطوریکه اگر∞+ →n_k ، آن اهfⁿk(x) → y .مجموعهی تمام نقاطω -حدی از نقطهیx را با ₍ω_(x,f نمایش م دهیم که ₍ω_(x,f چیزی جز، مجموعهیتمام حدود زیردنبالهای از دنبالهی  نیست.
قضیه ١.١.٩. مجموعهی تمام حدود زیر دنبالهای ی دنباله، ی مجموعه بسته است.
برهان. برای اثبات به [١١] مراجعه شود.
قضیه ١.١.٠١. فرض کنیدf _: X → X ی ن اشت پیوسته از فضای متری فشردهیX باشد، آن اه برای هرعضو دلخواهx ∈ X داریم
،ω(x,f) ̸= ∅
(ω(x,f ی زیرمجموعه بسته ازX م باشد،
اگرf ی همیومورفیسم باشد آن اه (f(ω(x,f)) = ω(x,f،
۴. (ω(fⁿ(x),f) = ω(x,f، و۵. ((ω(fⁱ(x),fⁿ) = fⁱ(ω(x,fⁿ.برهان. به ترتیب به اثبات موارد فوق م پردازیم:
چون مجموعهی {{۰}∪O⁺(x,f) = {fⁿ(x) : n ∈ N ی زیرمجموعه از فضای متری فشردهیX م باشد پس دارای ی زیردنبالهی هم راست، یعن دنبالهی {n_k} از اعداد صحیح مثبت وy ∈ X وجود دارد
بهطوریکهf^nk(x) → y و این ایجاب م کند که (y ∈ ω(x,f، بنابراین ∅ ≠ (y ∈ ω(x,f.
چون ₍ω_(x,f دقیقاًً با مجموعهی تمام حدود زیردنبالهای مجموعهی  برابر م باشد، لذا طبققضیه ٩.١.١ مجموعه ₍ω_(x,f بسته است.
ابتدا ثابت م کنیم که (f(ω(x,f)) ⊆ ω(x,f.
برای این منظور فرض کنید که (y ∈ ω(x,f، نشان م دهیم (f(y) ∈ ω(x,f.
هن ام که (y ∈ ω(x,f، ی دنباله از اعداد صحیح مثبت مانند {n_k} وجود دارد بهطوریکهf^nk(x) → y ،
چونf ی ن اشت پیوسته م باشد بنابراین (f(f^nk(x)) → f(y پس (f^nk+1(x) → f(y و در نتیجه ∈ (f(y(ω(x,f.
برای اثبات ع س: فرض م کنیم ₍y ∈ ω_(x,f در اینصورت طبق تعریف نقاطω -حدی، دنبالهای از اعداد
صحیح مثبت مانند {n_k} وجود دارد بهطوریکهf^nk(x) → y ، چونX فشرده است لذا دنباله {(f^nk(x} دارای
ی زیر دنبالهی هم را مانند {(f^nk−^۱(x} است بنابراینf^nk−^۱(x) → z . اکنون در نظر م گیریم
t = f−^۱(x) ⇒ x = f(t),
چونf پیوسته است با اثر دادن آن در طرفین رابطه زیر داریم
.
از ی تای حد نتیجه م شود کهf(z) = y . از آنجا که (z ∈ ω(x,f پس ((f(z) ∈ f(ω(x,f، یعن ∈y ((f(ω(x,f. بنابراین ((ω(x,f) ⊆ f(ω(x,f و در نتیجه (f(ω(x,f)) = ω(x,f.
۴) داریم
y ∈ ω(fⁿ(x),f) ⇔ ∃{n_k} s.t. f^nk(fⁿ(x)) → y ⇔ f^nk+n(x) → y ⇔ y ∈ ω(x,f).
۵) با بهره گرفتن از قسمت (۴) داریم ₍ω_(fⁱ_(x),fⁿ_{) = ω(x,f}ⁿ و با بهره گرفتن از قسمت (٣)، رابطه زیر رابهدست م آوریم
ω(x,fⁿ) = fⁱ(ω(x,fⁿ)), در نتیجه
ω(fⁱ(x),fⁿ) = fⁱ(ω(x,fⁿ)).
گزاره ١.١.١١. فرض کنیدf _: X → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متری فشردهیX باشد. برای هر عضودلخواهx ∈ X ، رابطه زیر برقرار است
.
برهان. رفت: فرض کنید ₍y ∈ ω_(x,f. طبق تعریف مجموعهی نقاطω -حدی، دنبالهی {n_k} وجود داردبهطوریکهf^nk_(x) → y یا بهطور معادلy ی نقطه حدی برای دنبالهی  است. بنابراین م توانگفت که برای هرy ،n ∈ N ی نقطه حدی مجموعهی {fⁱ(x) : i > n} است. یعن
∀n ∈ N ; y ∈ {fⁱ(x) : i > n}, پس
.
برگشت: فرض کنید  دراینصورت
.
م توان نتیجه گرفت کهy ی نقطه حدی مجموعهی {_۰fⁱ(x) : i > n}، برای ی _۰n ثابت است. زیرا اگرy ی
نقطه حدی از {_۰fⁱ(x) : i > n} ^نبـاشد، پس باید {_۰y ∈ {fⁱ(x) : i > n. بنابراین یm وجود دارد که =y (f^m(x. اکنون اگرn > m در نظر ب یریم، چونy ی نقطه حدی از {_۰fⁱ(x) : i > n} نیست، لذا م توان نتیجه
گرفت کهy ی نقطه حدی مجموعه {fⁱ(x) : i > n} ^{نیز نم باشد}، زیرا {_۰fⁱ(x) : i > n} ⊆ {fⁱ(x) : i > n}