اکنون و بعد از گذشت نیم قرن آدم­های قصه با سفر به دنیای نانو زبان اتم­ها را فرا گرفته­اند و می­دانند چگونه ساخت مواد را اتم به اتم آغاز کنند و با دست­کاری و بهبودشان به چیزی که می­خواهند دست یابند. زبان اتم­ها به ما می­گوید که نحوه­ چیدمان و کنارهم قرارگرفتنشان تا چه اندازه بر خواص و ویژگی­ها و رفتار مولکول و در نهایت مواد تشکیل شده از آن­ها اثرگذار خواهد بود. فناوری نانو و ابزارهایش امکان رسیدن به مواد، ابزار و سیستم­هایی با خواص دلخواه و کارآمدی لازم را برایمان فراهم می­نماید. تا آن­جا که امروزه در پیرامون ما به هر طرف که روی بگردانیم از غذایی که می­خوریم و لباسی که می­پوشیم تا دارو و ماشین و کرم­های پوستی که استفاده می­کنیم، نانوذرات، نانوکامپوزیت­ و نانوموادی را می­بینیم که از آزمایشگاه­ها و مراکز تحقیقاتی بیرون آمده و با ما در زندگی روزانه زیست می­ کنند. البته به هیچ­وجه نباید تصور کرد که فناوری نانو اختراع قرن حاضر است. بلکه نانو و قوانین حاکم بر آن، هموره جزئی از طبیعت بوده است و حالا ما با الهام از همین طبیعت به کشفی عظیم برای ساخت و پرداخت دنیایمان دست یافته­ایم. به­ طور مثال: سطح برگ لوتوس (یک نوع نیلوفر آبی) از پرزهای بسیار ریزی در مقیاس نانومتر پوشیده شده است. این پرزها که آب­گریز نیز می­باشند، سبب تجمع ذرات آب به شکل دانه­ های تسبیح می­شوند. وقتی دانه­ها به­قدر کافی بزرگ و تبدیل به قطره شد، شروع به غلتیدن و سرخوردن از سطح برگ می­نماید. گفتنی است که آلودگی­ها و گرد وغبار نیز درون این قطره­ها معلق شده و همراه آب به پایین می­غلتند. بنابراین، سطح برگ همواره تمیز خواهد ماند. با تقلید از این پدیده، شیشه­­ها و پارچه­هایی ساخته شده که «خودتمیزشونده» نام گرفت. بر روی سطح این محصولات همانند برگ نیلوفرآبی، یک لایه نازک نانومتری از دی­اکسیدتیتانیم و یا دی­اکسیدسیلیسیم کشیده شده که مانع از جذب آب و آلودگی­ها می­گردد.

۲-۷- نانولایه­ها
نانولایه­ها موادی هستند که فقط یک بعد آن­ها کمتر از ۱۰۰ نانومتر است.
در دنیای کنونی تغییرات سطحی به یک فرایند مهم و اساسی تبدیل شده است. نانولایه (لایه نازک) زیر ساختاری است که از نشست لایه­ های اتمی یک ماده بر روی زیرلایه جامد حاصل می­ شود. لایه­ های نازک با ضخامت­های بین چند نانومتر تا میکرومتر دارای خواص متفاوتی از مواد بایک می­باشند. این تفاوت­ها به ویژه در ضخامت­های بسیار کم یا در مراحل اولیه رشد مهم جلوه می­نماید و اساسأ به اجزای میکروساختاری و تجمع صورت گرفته در طول تحول نشست اتم­های آزاد از فاز گازی به فاز جامد تحت شرایط تعادل ترمودینامیکی بستگی دارد. در این مورد روش­هایی شامل ایجاد لایه­ های نازک یا پوشش­ها بر روی سطوح، افزایش کارایی یا محافظت سطوح را به دنبال دارد. رسوب یک لایه نازک (نانولایه) برای پوشش­دهی در اکثر صنایع جایگاه مهمی یافته است. نانولایه­ها دارای یک ساختار نانوذره­ای می­باشند که این ساختار یا از توزیع نانوذرات در لایه ایجاد می­ شود و یا به­وسیله­ یک فرایند کنترل شده­، یک نانوساختار در حین رسوب ایجاد می­ شود. فیلم­های نانویی لایه نازک، که بر روی سطح یک زیر پایه نشانده می­شوند کاربرد عمدتأ الکترونیکی دارند. همانند زیرلایه­ها، خازن­ها، قطعات حافظه، آشکارسازهای مادون قرمز و راهنمای موجی نانولوله­های کربنی.
در سال­های اخیر، علم لایه­ های نازک به­عنوان یک رشته تحقیقاتی مهم در سراسر دنیا مطرح شده است. اهمیت پوشش­ها و سنتز مواد جدید در صنایع سبب جهش ناگهانی در تکنولوژی فرآوری لایه­ های نازک گردیده است. امروزه این پیشرفت­ها با جهش­های علمی و تکنولوژیکی صنایع ماکروالکترونیکی، اپتیک و نانوتکنولوژی همراه گشته است. عمده پیشرفت­های صورت گرفته در علم لایه­ های نازک در صنایع ماکروالکترونیک می­باشد. البته کارهای روبه رشدی نیز در لایه­ های نازک اپتیکی، مغناطیسی، الکتروشیمیایی، پوشش ­های محافظ و تزئینی و کاتالیزورها در حال شکل گرفتن می­باشند. بیشتر اکتیویته­های لایه نازک در رشته تحقیقاتی جدیدی تحت عنوان «مهندسی سطح» مطرح می­گردد. مهندسی سطح یکی از مهم­ترین رشته­ های رشد یافته در سال گذشته بوده است که شامل طراحی و فرآوری لایه­ های سطحی، فصل مشترک­های داخلی مشخصه­های آن­ها می­باشد. مهندسی سطح با توسعه لایه­ های نازک و مشخصه­های سطحی مواد ارتباط مستقیم دارد.
۲-۸- نانولایه هلیم
اگر گاز هلیم در تماس با سطح یک جامد قرار گیرد، در دمای پایین روی سطح چگالیده می­ شود. اتم­های هلیم به وسیله­ نیروهایی که ماهیت وان­دروالس دارند روی سطح نگه­داشته می­شوند. با محدود کردن مقدار گاز قابل دسترس برای سطح، یک فیلم هلیم تنها به ضخامت یک اتم^[۲۴] می ­تواند تشکیل شود. حرکت اتم­های جذب شده نسبت به سطح توسط نیروهای نگهدارنده محدود شده است واتم­ها اجازه دارند تنها موازی با سطح حرکت کنند. اگر سطح تخت باشد و هیچ نوسان عرضی در نیروهای جاذبه وجود نداشته باشد، جذب ماده فقط محدود به یک سطح تخت اتفاق می­افتد. تحت این شرایط، گاز جذب شده مانند یک سیستم شبه دوبعدی^[۲۵] رفتار می­ کند. این سیستم ویژگی­های قابل بررسی جالبی هم از نظر تجربی و هم از نظر تئوری دارد.
تعدادی از زیرلایه­های ممکن برای مطالعات تجربی پیشنهاد شده است [۳۰]. موفق­ترین آن­ها ورقه­های گرافیت می­باشد، که شامل تعداد زیادی صفحه­های کریستالی مسطح گرافیت به عرض حدود ۱۰ نانومتر است.
۲-۹- دیاگرام فاز فیلم هلیم-۳
شکل (۲-۱) دیاگرام فاز هلیم-۳ جذب شده روی گرافیت را نشان می­دهد [۳۱]. پوشش X اندازه­ای از چگالی فیلم است.۱ X= مربوط به ساختار یک تک لایه کامل در چگالی۱۰^۹*۲٫۴ اتم هلیم در هر مترمربع است. در این چگالی، میانگین فاصله جدایی بین اتمی ۰٫۳۲۷ نانومتر است، که وقتی با میانگین فاصله جدایی بین اتمی در حالت حجمی(۰٫۴۵ نانومتر) مقایسه می­ شود به عنوان یک نتیجه از حضور زیرلایه، هلیم می ­تواند بدون استفاده از فشار در دوبعد جامد شود.
در پوشش ­های کمتر، فازهای سیالی دوبعدی بصورت یک مایع فرمی دوبعدی در دماهای پایین یافت می­ شود. فاز ثبت شده مربوط به اتم­های هلیم به­دام افتاده به­وسیله پتانسیل دوره­ای زیر لایه در مقیاس فاصله شبکه زیرلایه است.
در پوشش ­های بسیار کم، ، تأثیرات نقایص در زیرلایه، لبه­های کریستالی، آلودگی و غیره مهم می­شوند و بر ویژگی­های فیلم تاًثیرگذار خواهند بود.
در چگالی­های پایین، لایه دوم مانند یک گاز دوبعدی ناکامل رفتار می­ کند. هنگامی­که بعضی اتم­های لایه سوم حاضر می­شوند، لایه دوم جامد می­ شود. افزایش بیشتر پوشش منجر به یک تغییر تدریجی در ویژگی­های سیستم دوبعدی در مقایسه با یک سیال بالک می­ شود. فیلم­های چند لایه و تغییر رفتار از سه­بعد به دوبعد بخشی از تحقیقات جالب اخیر را تشکیل می­دهد.
شکل (۲-۱): دیاگرام فاز فیلم  جذب شده روی ورقه گرافیت بر حسب دما [۳۱].
۲-۱۰- مروری بر برخی کارهای انجام شده روی نانو لایه هلیم-III
هلیم-III جذب شده روی زیرلایه­هایی مانند گرافیت، نمونه تجربی یک سیستم فرمی شبه دوبعدی را تشکیل می­دهد. شواهد تجربی نشان می­دهد که گرافیت زیرلایه­ای بسیار یکنواخت است و در ضخامت­های به حد کافی پایین، تاًثیر ساختار زیرلایه در ویژگی­های سیستم دوبعدی بسیار کم است.
در چند دهه­ اخیر، تلاش­ های تجربی [۳۲-۳۸] و نظری [۴۰-۴۴] پیوسته­ای برای آشکار ساختن ویژگی­های مایع فرمی دوبعدی وجود داشته است. این نتایج تجربی عدم وجود یک سیستم  دوبعدی خودمقید^[۲۶] را نشان می­دهد. محاسبات نظری در مورد سیستم  دوبعدی و فیلم­های  در مقایسه با کارهای انجام شده روی  کمیاب­تر است. علاوه براین، در برخورد با یک سیستم به شدت همبسته مانند هلیم، آمار فرمی  باید درنظر گرفته شود.
فیلم­های نازک  ، مانند  بالک، در دماهای پایین می­توانند ابرسیال شوند[۴۴و۴۵] اما فیلم­های  روی زیرلایه­  شکلی از رفتار ابرسیالی را نشان می­ دهند که هنوز ناشناخته است و مکانیسم متفاوتی برای این قبیل رفتارها پیش ­بینی شده است [۴۶].
میلر^[۲۷] و نوسانو^[۲۸] گذار فاز مایع به گاز را در سیستم­های کوانتومی دوبعدی (فرمیونی و بوزونی) در دمای صفر با روش وردشی مقید مورد بررسی قرار دادند [۴۱]. نتایج آن­ها نشان داد که بوزون­ها دستخوش یک گذار فاز مرتبه دوم هستند، درحالی­که فرمیون­ها یک گذار فاز مرتبه اول در ناحیه­ای که فازهای مایع و گاز می­توانند همزمان وجود داشته باشند، دارند. آن­ها این رفتار را بدین صورت توجیه کردند که وجود یک جمله انرژی جنبشی اضافی ناشی از دریای فرمی و همبستگی­های آماری که باعث می­ شود انرژی جنبشی همبستگی و انرژی پتانسیل برای فرمیون­ها نسبت به بوزون­ها تغییر کند، موجب می­ شود که فرمیون­ها گذار متفاوتی نسبت به بوزون­ها داشته باشند.
برامی^[۲۹] و همکارانش [۴۲]، با بهره گرفتن از محاسبات وردشی مونت کارلو^[۳۰] وجود فاز مایع در یک لایه  جذب شده روی گرافیت را بررسی کردند. آن­ها پتانسیل بین اتمهای هلیم-هلیم بصورت پتانسیل عزیز و بین اتمهای هلیم-کربن را بصورت زیر در نظر گرفتند،

که

و با در نظر گرفتن عدم جایگزیدگی اتم­های هلیم در جهت عمود برسطح به این نتیجه رسیدند که فاز سیالی یکنواخت نسبت به سیال خودمقید در دمای صفر ناپایدار است. نواکو^[۳۱] و کمبل^[۳۲] نیز با در نظر گرفتن برهمکنش بین اتم­های لایه و زیرلایه به نتیجه مشابهی دست یافتند [۴۰].
معادله حالت  دوبعدی در دمای صفر با بهره گرفتن از روش مونت کارلو محاسبه شده است [۴۳]. نتایج این محاسبات در شکل (۲-۲) آورده شده است. این نتایج نشان می­دهد که نمودار انرژی کل بر ذره  دوبعدی با پتانسیل لنارد- جونز هیچ مینیممی ندارد و انرژی همواره مثبت باقی می­ماند. یک نتیجه کلیدی در این کار، این است که سطح درگیر واقعی^[۳۳] بوسیله­ی تاًثیرات بک فلو^[۳۴] داده می­ شود. در یک فیلم همبستگی­های دوجسمی تماماً در یک سطح تخت اتفاق می­افتد. علاوه براین سهم همبستگی­های ذره - زیرلایه که عمود بر سطح زیرلایه هستند تاًثیر کمی روی تابع موج بک فلو دارد. بنابراین آمار فرمی یک فیلم نازک  مطمئناً می ­تواند بصورت یک هندسه­ی دوبعدی ایده­آل بررسی شود.
شکل (۲- ۲): نتایج محاسبات مونت- کارلو برای انرژی کل بر ذره  بر حسب چگالی [۴۳].
از کارهای تجربی انجام شده روی  دوبعدی اندازه ­گیری ظرفیت گرمایی و پذیرفتاری مغناطیسی آن است. به عنوان مثال هو^[۳۵] و هالوک^[۳۶] ظرفیت گرمایی  در فیلم­های مخلوط  اندازه ­گیری کردند [۳۷] و نشان دادند که برای ضخامت­های  کمتر از ۰٫۱ لایه،  مانند گاز بولتزمن دوبعدی رفتار می­ کند. وقتی ضخامت در محدوده ۰٫۵۵-۰٫۱ لایه است،  مانند یک مایع فرمی شبه دوبعدی با جرم موًثر  در دمای ۱۰۰ میلی کلوین رفتار می­ کند. (شکل (۲-۳))
شکل (۲-۳): نتایج تجربی اندازه ­گیری بر حسب ضخامت  در دمای [۳۷].
گریوال^[۳۷] گرمای ویژه  جذب شده روی گرافیت وقتی ضخامت هلیم از یک تا پنج لایه کامل می­ شود، در محدوده دمایی تا اندازه ­گیری کرد [۳۸]. پیشرفت اتم­ها تا دومین، سومین و چهارمین لایه بوضوح قابل مشاهده است. نتایج مربوط به دومین لایه نشان می­دهد که جرم موًثر شبه ذرات  در توافق خوبی با نتایج مربوط به لایه اول است و محدوده آن­ها از یک تا پنج برابر جرم ذرات  است. در پیشروی از لایه قبلی به سومین لایه، لایه دوم دستخوش یک گذار فاز مرتبه اول می­ شود. با مقایسه با دیاگرام فاز لایه اول، فاز جامد جدیدی در دومین لایه پیشنهاد شده است. فاز ثبت شده تیزی بزرگ غیر متعارفی در دمای در ظرفیت گرمایی نشان می­دهد. وقتی ضخامت لایه  افزایش می­یابد، این ماکزیمم در باقی می­ماند اما دامنه آن بصورت ناگهانی افزایش می­یابد درحالیکه وابستگی دمایی بالای این ماکزیمم از  تا  تغییر می­ کند. این رفتار غیرعادی در چگالی (جایی که پیشرفت اتمها تا چهارمین لایه اتفاق می­افتد) به مقدار بزرگتری می­رسد. این نتایج در شکل (۲-۴) نشان داده شده است.
شکل (۲-۴): ظرفیت گرمایی بصورت تابعی از ضخامت  [۳۸] و مقایسه آن با نتایج مرجع [۳۹].
مرهارد^[۳۸] و همکارانش پذیرفتاری مغناطیسی دومین لایه  جذب شده روی گرافیت اندازه ­گیری کردند [۳۴]. اولین لایه  جذب شده در چگالی بالا یک ساختار جامد سه وجهی دارد. پذیرفتاری مغناطیسی در محدوده دمایی اندازه ­گیری شده از قانون کوری پیروی می­ کند. این لایه­ی جامد بعنوان یک زیرلایه برای جذب لایه دوم عمل می­ کند. دومین لایه بصورت مایع است. در دماهای خیلی کم  پذیرفتاری مغناطیسی مایع نسبتاً کوچک و ثابت است. برای  پذیرفتاری مغناطیسی از قانون کوری پیروی می­ کند. این رفتار در شکل (۲-۵) بوضوح قابل مشاهده است.
شکل (۲-۵): نتایج تجربی اندازه ­گیری پذیرفتازی مغناطیسی بر حسب دما برای فیلم­های  جذب شده روی گرافیت در چندین ضخامت بعد از یک تک لایه کامل [۳۴].
فصل سوم
مروری بر روش­های بس­ذره­ای در محاسبات شاره­های کوانتومی
۳-۱- مقدمه
روش­های مطالعه­ دستگاه­های بس­ذره­ای بطور کلی به دو دسته­ی روش­های اختلالی و روش­های وردشی تقسیم می­شوند که برتری روش­های وردشی در عدم محدودیت چگالی دستگاه مورد بررسی می­باشد. در این فصل به مطالعه بعضی از روش­های بس­ذره­ای که در محاسبات شاره­های کوانتومی به­کار می­رود خواهیم پرداخت.
۳-۲- روش هارتری- فوک^[۳۹]
در این روش تابع موج کل دستگاه به صورت زیر است،
(۳-۱)
که در معادله شرودینگر زیر صدق می­ کند،
(۳-۲)
هامیلتونی H عبارت است از،
(۳-۳)
در رابطه (۳-۱)،  ها که در آن است، توابع موج یک دستگاه آزمایشی می­باشند که هامیلتونی آن به صورت رابطه زیر در نظر گرفته می­ شود،
(۳-۴)
که در آن ، هامیلتونی تک ذره­ای است. حال انرژی دستگاه
(۳-۵)
را با توجه به قید بهنجارش زیر برای ، به­دست می­آوریم،
(۳-۶)
با توجه به معادله (۳-۳) مقدار چشمداشتی هامیلتونی عبارت است از،
(۳-۷)