در نتیجه
(۴-۲۸)
به همین ترتیب برای و روابط زیر را بهدست میآوریم،
(۴-۲۹)
در روابط بالا، به پتانسیل موثر دوجسمی و به پتانسیل موثر سه جسمی موسوم است.
با توجه به روابط (۴-۱۷)، (۴-۱۸)، (۴-۲۰)، (۴-۲۱)، (۴-۲۸)، (۴-۲۹) روابط زیر برای انرژی بهدست می آید [۶۱]،
(۴-۳۰)
معادلات بالا را بسط خوشهای انرژی مینامند. همگرایی بسط خوشهای فوق توسط پارامتر زیر، با نام پارامتر کوچکی، توصیف می شود،
(۴-۳۱)
هر چه این پارامتر کوچکتر باشد همبستگی دو ذرهای قویتر است. پس پارامتر کوچکی، را میتوانیم به عنوان قید در نظر بگیریم. وقتی همبستگی دوجسمی بسیار زیاد باشد، میتوان از جملات مراتب بالاتر صرفنظر کرد [۶۴].
فصل پنجم
محاسبات
۵-۱- مقدمه
در این فصل میخواهیم انرژی کل بر ذره نانولایه هلیم-III در دمای صفر را محاسبه کنیم.
در فصل قبل روش بسط خوشهای برای محاسبهی مقدار چشمداشتی انرژی بررسی شد. همانطور که دیدیم، انرژی به صورت یک بسط خوشهای از مجموع انرژیهای تک جسمی، دو جسمی و… بدست آمد. ما در اینجا انرژی کل بر ذره را که مجموع انرژیهای تک جسمی و دو جسمی است، محاسبه و از جملات بالاتر بسط صرف نظر میکنیم. برای این منظور در محاسبهی انرژی دو جسمی تاثیر ذرات بر یکدیگر را از طریق پتانسیل لنارد- جونز [۶۵] و عزیز [۶۶و۶۷] به طور جداگانه در هامیلتونی مربوطه وارد کرده و نتایج حاصل را با هم مقایسه میکنیم. همچنین فشار سیستم را با در نظر گرفتن دو پتانسیل لنارد- جونز و عزیز با هم مقایسه خواهیم کرد.
۵-۲- محاسبهی انرژی خوشهی یک جسمی بر ذره ()
یک سیستم متشکل از N ذره اتم هلیم برهمکنش کننده را در نظر میگیریم.
چگالی (تعداد ذرات در واحد سطح) این سیستم، ، برابر است با:
(۵-۱)
که A مساحت سیستم است.
در حالت پایه ( )، حالات اشغال شده تشکیل یک کرهی فرمی در فضای ممنتم میدهد. تعداد ذرات درون این کرهی فرمی به صورت زیر به صورت زیر بهدست میآید،
(۵-۲)
برای یک سیستم فرمیونی است، بنابراین میتوان با بهره گرفتن از رابطه (۵-۲) ممنتم فرمی را به صورت زیر نوشت،
(۵-۳)
برای انرژی خوشهی یک جسمی بر ذره (انرژی جنبشی بر ذره) میتوان نوشت،
(۵-۴)
و
(۵-۵)
با بهره گرفتن از روابط (۵-۳)، (۵-۴) و (۵-۵)، انرژی بر ذرهی خوشهی یک جسمی به صورت تابعی از چگالی بهدست می آید.
(۵-۶)
۵-۳- محاسبهی انرژی خوشهی دو جسمی بر ذره ()
همانطور که در فصل قبل دیدیم، انرژی خوشهی دو جسمی بر ذره برابر است با،
(۷-۵)
که
(۵-۸)
در معادله بالا پتانسیل برهمکنش دوذرهای و عملگر همبستگی دو ذرهای است. در محاسبات این فصل از دو پتانسیل برهمکنش دو ذرهای لنارد- جونز و عزیز استفاده میکنیم. پتانسیل لنارد- جونز برای مایع به شکل زیر است [۶۴]،
(۵-۹)
که
(۵-۱۰) ,
پتانسیل عزیز برای مایع به شکل زیر است [۶۶و۶۷]،
(۵-۱۱)
که
(۵-۱۲)
(۵-۱۳)
حال تابع همبستگی دوذرهای غیر وابسته به اسپین که فقط به اندازه فاصله نسبی دو ذره بستگی دارد را تعریف میکنیم،
(۵-۱۴)
که از تغییر متغیر استفاده کردهایم. با توجه به تعریف تابع همبستگی فوق و مطالب فصل قبل میتوان نشان داد که،
(۵-۱۵)