(۶٫۴)
که ثابت و مثبت است.
با یادآوری رابطه (۶٫۳) که:
با ضرب طرفین در RC و ساده­سازی داریم:
(۶٫۵)
بر اساس مدل فوق می­توان به رابطۀ رگرسیون خطی زیر رسید.
(۶٫۶)
که در رابطۀ فوق،
بردار توابع معلوم (رگراسور) است.
بردار پارامترهاست
تا هنگامی که ولتاژ مدر بار به طور مستقیم با حالت شارژ باطری (SOC) ارتباط داشته باشد به کمک مولفۀ چهارم W و مولفه چهارم می توان را مستقیماً محاسبه کرد.
ولتاژ تخمینی باطری به صورت زیر قابل محاسبه است.
(۶٫۷)
حال به بررسی پایداری قانون کنترلی فوق به بیان لیاپانوف می­پردازیم.
سیستمی را که دینامیک آن در معادلات باطری آورده شده در نظر می­گیریم.
قانون برآورد (۶٫۷) را داریم حال با قانون تطبیقی زیر پایداری سیستم که همانا میل میزان خطا به صفر است را تحقیق می­کنیم.
قانون تطبیقی
ثابت ومثبت
یادآوری : معادلات (۶٫۲) دینامیک باطری:
(۶٫۲-آ)
(۶٫۲-ب)
(۶٫۲-ج)
برای بررسی پایداری به روش لیاپانوف تابع زیر را در نظر می­گیریم:

تابع لیاپانوف
با مشتق­گیری داریم:
(۶٫۸)
تا زمانی که پارامترهای W ثابت باشند داریم حال با توجه به فرض شماره ۲ مبنی بر ثابت بودن که و مشتق گیری از رابطه (۶٫۴) داریم:
با ضرب طرفین در RC:
را از رابطۀ (۶٫۵) جایگزین می­کنیم.
از رابطۀ (۶٫۶) داریم:
را از رابطۀ (۶٫۷) جایگزین می کنیم.
(۶٫۹)
را از رابطۀ(۶٫۹) در رابطۀ (۶٫۸) جایگزین می­کنیم.
قانون تطبیقی را به صورت زیر تنظیم می­کنیم.
نتیجتاً خواهیم داشت:
از رابطۀزیر به نتایجی می­توان رسید:
محدود بوده و به مقادیر محدود میل می­ کنند.
از رابطۀ (۶٫۴) داریم که و بنابراین محدودند.
از رابطۀ (۶٫۷) محدود بودن مشهود است.
و نیز در رابطۀ (۶٫۹) محدودیتش اثبات می­ شود با مشتق­گیری مجدد از داریم :
بنابراین نیز محدود است.
بحث زیر در مورد پایداری استدلال های خود را نشان می دهد.
باتوجه به منفی بودن و محدود بودن V و سپس در داریم بنابراین به عبارت دیگر محدود است تا زمانی که محدود باشد.
با همین استدلال . مقداری محدود است پس بنابراین . پس خطای سیستم به بیان لیاپانوف به صورت مجانبی پایدار است.

شبیه­سازی و نتایج

برای بررسی هر چه دقیق­تر کارایی تخمین­گر تطبیقی پیشنهادی، از یک مبدل باک^[۸۸] که مدار آن در شکل (۶٫۲۱) آمده، استفاده شده است، تا به کمک آن بردار رگراسوری داشته باشم که پیوسته و مدام در حالت تحریک باشد. این مبدل توسط یک کنترل کنندۀ PI ، مانند شکل (۶٫۲۲) کنترل می­ شود. سیستم توسط جعبه ابزار نرم­افزار متلب به نام SimPowerSystem در فرکانس ۱ KHz، شبیه­سازی شده است. مقادیر پارامترهای مداری مبدل باک در جدول (۶٫۲) آمده است. پارامترهای و نامشخص و متغیر در زمان فرض می­شوند. مقادیر اولیۀ بردار تخمینی عبارت است از (۰,۰,۰,۱۲٫۵). ولتاژ مدار باز اولیه V_oc ، ۱۲٫۵ ولت است ، که برای SOC برابر ۵۰% در نظر گرفته شده است و این امکان را فراهم می­ کند که سیستم تقریباً از نصف مقدار مورد نظر برای V_oc، که البته مقداری نامشخص نیز هست، شروع به کار کند.
شکل ‏۶٫۲۱- مدار معادل مبدل باک
شکل ‏۶٫۲۲- شمای کنترل مبدل
جدول ‏۶٫۳- پارامترهای مبدل باک