که در رابطه بالا و . دیده می شود که اگر سیستم به درستی همگرا شود، آن گاه مدل تخمین زده شده با مدل واقعی یکسان خواهد بود. با تعریف تابع هزینه ای به شکل زیر:

(۱۴-۳)

با بهره گرفتن از مرجع[۲۶ و ۳۰] در می یابیم که در صورتی که تخیمن پارامترها از رابطه:

(۱۵-۳)

که در آن پارامتر از رابطه

(۱۶-۳)

به دست خواهد آمد، تابع هزینه معادله (۱۴-۳) به حداقل مقدار خود خواهد رسید و یا در واقع نُرم خطای تخمین حداقل می شود.
توجه: با گسسته سازی معادلات (۱۴-۳) تا (۱۶-۳) به معادلات (۷-۳)، (۱۰-۳) و (۱۲-۳) خواهیم رسید.
برای اینکه شرط همگرایی به صفر برای برقرار باشد، می بایست تحریک پایا صورت پذیرد. توضیح جامعی از این قضیه در مرجع [۲۷] آورده شده است. در اینجا با اندکی تغییر بیان این قضیه بدون اثبات آورده می شود.

۵- ۳- قضیه تحریک پایا[۲۷](صفحات ۱۷۷ تا ۱۸۰)
ماتریس زیر را در نظر بگیرید:
اگر این ماتریس دارای مرتبه کامل باشد آنگاه تحریک پایا خواهیم داشت.
در واقع با بیانی ساده تر می توان گفت در صورتی که سیگنال تحریک کننده پایا نباشد، همه مود های سیستم تحریک نخواهند شد. از تئوری تحریک پایا می توان گفت ، اگر سیگنال پایا باشد، آنگاه می توان گفت که خطای تخمین. نشان داده می شود [۳۰] در صورتی که باشد، آنگاه تحریک پایا صورت می پذیرد و سرعت زاویه ای نیز همانند سایر پارامترهای نامعین می تواند تعیین گردد. سرعت زاویه ای از رابطه محاسبه می شود.
به طور خلاصه اگر سیگنال های و مورد استفاده قرار گیرند، آنگاه به صورت مجانبی به صفر میل خواهند نمود و بنابراین سرعت زاویه ای می تواند تعیین گردد.
فصل چهارم
کنترلر تطبیقی مدل مرجع بهبود یافته برای کنترل ژیروسکوپ MEMS
۱-۴- مقدمه
وقتی یک ژیروسکوپ در معرض چرخش و یا در واقع سرعت دورانی قرار می گیرد، پاسخ محور حساسیت اطلاعاتی در مورد این سرعت دورانی ارائه می دهد. با توسعه تکنولوژی MEMS، ژیروسکوپ های MEMS برای کنترل حرکات غلطشی و نیز کنترل حالت سر خوردن اتومبیل ها ، پایدار سازی دوربین ها، ابزار کمک ناوبری برای GPS، صنایع گوناگون مانند هوافضا و غیره به کار گرفته شده است[۳۳]. اما با این وجود، عیب های ناشی از ساخت و ارتعاشات محیطی که ایجاد ترمهای تداخلی نامطلوب ، اغتشاشات نامعین، نویز های ورودی و اندازه گیری، و تغییر در پارامتر های سیستم می نمایند که سبب کاهش عملکرد مطلوب سیستم را می شود. همچنین عوامل خاصی وجود دارد که بر عملکرد ژیروسکوپ ها اثر می گذارد که تحت عنوان پارامترهای تداخلی نامیده می شوند. پارامترهای تداخلی، عباراتی را شامل می شوند که در معادلات حرکت محور حسگر و محور تحریک وجود دارند و به شکل ضرایب فنریت و میرایی که در موقعیت و یا سرعت خطی ضرب شده اند، ظاهر می شوند و به این شکل یک تداخل بین معادلات حرکت محور های حسگر و محور تحریک به وجود می آورند. پارامترهای میرایی تداخل معمولا کوچک هستند و در برابر ترمهای فنریت تداخلی قابل مقایسه نیستند. در نتیجه یک سیستم کنترلی می بایست وجود داشته باشد تا عملکرد ژیروسکوپ را بهبود بخشد و پایداری سیستم را تضمین کند. برای حذف اغتشاشات و رسیدن به عملکرد مقاوم در برابر نامعینی های مدل سازی ژیروسکوپ های MEMS، روش های کنترلی پیشرفته می بایست به کار گرفته شود. دو نوع کنترل متداول در مورد ژیروسکوپ های MEMS عبارتند از: کنترل دو محور ارتعاشی(یا مد) ژیروسکوپ، و تخمین نرخ چرخشی متغیر با زمان[۳۴].کنترلر تطبیقی مدل مرجع (MRAC) یکی از از روش های متداول در کنترل تطبیقی است. این ساختار به شکل قدیمی آن برای کنترل سیستم های خطی در حضور نامعینی های پارامتری طراحی شد. با توسعه نظریه پایداری لیاپانف، این نظریه برای بهبود MRAC مورد استفاده قرار گرفت. این نظریه شرط کافی را برای عملکرد پایدار سیستم بدون لحاظ نمودن مشخصات فرکانسی کنترلر به دست آمده را فراهم می سازد. شمای کلی یک MRAC در شکل ۱-۴ نمایش داده شده است. مهمترین مشکل در به کارگیری الگوریتم MRAC با بهره های بالا، حساسیت زیاد سیستم به تاخیر زمانی سیستم می باشد. در مراجع [۳۵و ۳۶] این مشکل را به طور مفصل توضیح می دهند و یک اسلوب جدید برای طراحی کنترلر تطبیقی ارائه می کنند. کنترلر حاصل از تطبیق پذیری بالایی برخوردار است و پاسخ فرکانسی دلخواهی را با باند عملکردی قابل محاسبه به صورت تحلیلی ارائه می کند. به علاوه با توجه به [۳۷، ۳۸ و ۳۹] بر خلاف الگوریتم MRAC متداول، روش تطبیقی یاد شده دارای تضمین پایداری در برابر تاخیر زمانی در عین تطبیق پذیری بالا خواهد بود.
در زیر به پاره ای از تایخچه ای از کارهای انجام پذیرفته در زمینه کنترل تطبیقی و کنترل MEMS اشاره می شود:
استروم[۲۷]، ایونوا و سان [۴۰] و تائو[۲۹] کنترل تطبیقی مدل مرجع را توضیح می دهند. در سالهای اخیر، فعالیت های زیادی برای بهبود عملکرد کنترلر های تطبیقی صورت پذیرفته است که برای اشاره به تعدادی از آنها می توان از [۳۸، ۳۹، ۴۱، ۴۲و ۴۳] نام برد. یک قانون تطبیقی و تلفیق آن با شناسایی پارامترها، به صورت تحلیلی توسط فرادکف و آندریفسکی[۳۴ و ۴۴] پیشنهاد گردید. کائو و هواکیمیان [۳۹، ۴۵ و ۴۶] یک ساختار کنترلی جدید ارائه نمودند که تضمین می کند که ورودی و خروجی یک سیستم خطی نامعین از ورودی و خروجی یک سیستم دلخواه تبعیت کنند. زارع [۴۷ و ۴۸] از این کنترل تطبیقی یاد شده را برای کنترل برخی سیستم های پروازی بهره گرفت. برخی الگوریتم های کنترلی نیز برای کنترل ژیروسکوپ MEMS توصیه شده اند. فی و باتور [۴۹]یک کنترل تطبیقی مد لغزشی را برای کنترل ژیروسکوپ MEMS استخراج کردند تا سرعت زاویه ای را تعیین کند. باتور [۳۲] یک کنترلر مد لغزشی ارائه نمود که با ترکیب با یک استراتژی کنترلی تعدیل نیرو ترکیب شده است و سرعت زاویه ای را تخمین می زند. للاند[۴۱] یک کنترلر تطبیقی برای تنظیم فرکانس طبیعی محور تحریک یک ژیروسکوپ ارتعاشی ارائه کرد. یک کنترلر تطبیقی نیز در [۳۳] ارائه شده است که هر دو محور را تحریک می کند و تمام اعمال ژیروسکوپ را کنترل می نماید.
کار اصلی انجام شده در این بخش طراحی یک کنترلر تطبیقی مدل مرجع بهبود یافته برای یک ژیروسکوپ ارتعاشی MEMS است به طوریکه امکان تخمین سرعت زاویه ای و کلیه پارامترهای نامعین ژیروسکوپ فراهم آید و اثبات امکان استفاده از این کنترلر در چنین سیستم هایی می باشد. با توجه به جبرانسازی سریع، با انتخاب مناسبی از پارامتر های کنترلر، یک تخمین سریعتر و دقیقتر از پارامترهای سیستم در دسترس خواهد بود.
در این بخش بررسی عملکرد یک کنترلر تطبیقی مدل مرجع بهبود یافته برای یک ژیروسکوپ MEMS مورد توجه قرار خواهد گرفت. با بهره گرفتن از این الگوریتم کنترل تطبیقی، یک تخمین از سرعت زاویه ای و ضرایب میرایی و فنریت سیستم به صورت زمان حقیقی در اختیار خواهد بود. با تغییر ورودی مدل مرجع متداول، امکان وارد نمودن یک فیلتر پایین گذر به منظور حذف نوسانات ناخواسته حاصل از بهره تطبیق بالا فراهم می شود. این تکنیک تطبیقی جدید جبرانسازی سریع را برای تغییرات بزرگ در دینامیک سیستم را ممکن می سازد و این مسئله به نوبه خود تخمین یکنواختی را از سرعت زاویه ای مسیر می نماید و قوام بالایی در برابر تغییر پارامترهای سیستم و در برابر اغتشاشات خارجی ایجاد می کند. پایداری مجانبی کنترلر تطبیقی مذکور با بهره گرفتن از روش مستقیم لیاپانف تضمین می گردد. نتایج شبیه سازی، موثر بودن روش کنترلی مورد نظر را تایید می کنند.