در مقایسه با روش ابدوس و تئودورس برای حالت نرم ما دوباره چندک های برداری داریم که هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و میانه ی فضایی، مرکز را ایجاد می کنند یعنی مبدا است، بنابراین .

نقاط در غیر از تحت این دو سیستم چندکی تفسیرهای متفاوتی دارند.
برای مقایسه ی بهتر روش چادوری با روش ابدوس و تئودورس، تابع زیان یک متغیره که در آن , هستند را در نظر می گیریم. ابدوس و تئودورس با تعمیم ، ، به حالت چند متغیره با بهره گرفتن از نرم به فرم که همان نرم اقلیدسی است، برای و ، چندک ام در را بدست آوردند. اما چادوری در سال ۱۹۹۶ چندک ام )برای ( در را با تعمیم به ، بدست آورد.
چادوری چندک را برای حالت =۰، چندک مرکزی و برای حالت چندک انتهایی نامید.
وقتی مشاهده داشته باشیم، میزان انحراف از مرکز را ارائه می دهد. دراینجا با ذکر چند نکته این موضوع را روشن می کنیم.
الف- میزان انحراف به صورت فاصله اقلیدسی بین و نیست.
ب- فاصله از بطور یکنواخت در افزایش نمی یابد.
ج- برای اندازه تفسیر احتمالی ندارد. اما در حالت یک متغیره با در نظر گرفتن تفسیر احتمالی خواهد داشت.
د- در حالیکه ناحیه ی در حالت یک متغیره برای (یعنی ناحیه ی درون چارکی) با چندک ام ارتباط دارد، برای ۲ در ارائه چنین تعبیری، که در ادبیات از آن با عنوان نیمه میانی^[۳] یاد می شود، ناتوان است.
حال با ارائه مثالی در حالت یک متغیره به بررسی خواص ذکر شده می پردازیم.
مثال ۳-۱:
را در نظر بگیرید، که و به ترتیب توزیع های یکنواخت(مستطیلی) روی و هستند. در این صورت:
آنگاه و چون درنتیجه برای های مختلف به شکل زیر می باشد:
در اینجا دو چندک که برآورد است، با را محاسبه کردیم که انحراف از به وضوح دیده می شود و نشان دهنده ی نکته ی الف می باشد. دو چندک و برای بصورت می باشد که نشان دهنده ی نکته ب می باشد.
۳-۳-۲- بررسی تابع چندکی توسط چندک های ()
در این بخش وجود تابع چندکی با بهره گرفتن از () را مورد بررسی قرار می دهیم. بدین منظور ابتدا از میانه یعنی=، شروع می کنیم. برای مثال مجموعه های برای را در نظر می گیریم. این مجموعه ها به طور طبیعی ناحیه های درونی تو در تو را ایجاد می کنند.
با قرار دادن و جهت از ، نقاط کرانه ای ( برای () هایی که ) یک تابع چندکی را ایجاد می کند که شرایط ۱ و ۲ تابع چندکی را دارا است. بطور خاص، این موضوع توسط یک ناحیه درون چارکی با حجم داده شده، به عنوان یک مثال از برد میان چارکی تک متغیره، به آسانی دیده می شود. به هر حال، پارامترهای و بکارگرفته شده در () و دارای یک مضمون نمی باشند. لذا، نمی توانند به خوبی از عهده تفسیر ویژگی ۳ ذکر شده در بخش ۱-۲-۲ برآیند. به عبارت دیگر ارتباط بین پارامترهای در () و پارامترهای برای
مبهم می باشد که تفسیر سختی از ناحیه درونی چندک ام بعنوان یک مجموعه در می سازد . اگرچه بعنوان یک مدلی از اندازه زیرین یا تودرتو بودن، تفسیر می شود. اما شرط ۳ از شرایط تابع چندکی گفته شده در بخش ۱-۲-۲ برقرار نمی باشد.
یک خاصیت قوی: در نظر بگیرید برای یک سری داده محاسبه می شود و فرض کنید برای داده شده و ، باشد آنگاه:
در اینجا نتیجه می شود که تنها از طریق بردار جهت به ها وابسته است. بنابراین اگر نقاط در امتداد شعاعشان نسبت به به طرف بیرون حرکت کنند، مقدار برای ثابت، ثابت باقی می ماند.
۳-۴- نتیجه گیری
در این فصل با بهره گرفتن از دو روش متفاوت در بسط رابطه ۳-۱، چندک چند متغیره را محاسبه کردیم. روش ابدوس و تئودورس در بدست آوردن تابع چندکی ناموفق بود. ولی با بهره گرفتن از روش چادوری تابع چندکی بدست آمد. اما به دلیل اینکه ویژگی سوم تابع چندکی حاصل نشد، تابع چندکی بدست آمده خیلی مفید نیست.
فصل چهارم
چندک های چند متغیره داده ای براساس شیب
۴-۱- مقدمه
برای داده های تک متغیره میانه، عبارت را مینیمم می کند و با حل که در آن
و مشتق می باشد، بدست می آید. تابع را می توانیم به عنوان چندک تفسیر کنیم. در این فصل با ذکر چند مثال، چندکهای چند متغیره را بر اساس روش مشتق گیری مورد بررسی قرار می دهیم.
۴-۲- بکارگیری روش مشتق گیری در بدست آوردن چندک های چند متغیره
را به صورت زیر در نظر بگیرید و ، ، در روابط زیر، نرم اقلیدسی می باشد:
که حجم ساده در با رئوس می باشد.
با مشتق گرفتن از ، ، و حاصل می شوند که با برابر قرار دادن هر کدام با صفر به ترتیب میانه ی مولفه ای ، میانه ی فضایی و میانه ی اوجا^[۴] حاصل می شوند.
تذکر آن که مشتق ها در حالت ۲ بعنوان ایده های چند متغیره ی آماره آزمون علامت و چندک (بطور همزمان) تفسیر می شوند که در ادامه به آن می پردازیم.
۴-۳- آزمون علامت
۴-۳-۱- آزمون علامت برای حالت تک متغیره
متغیر تصادفی پیوسته ی را در نظر بگیرید و فرض کنید میانه ی توزیع باشد ؛ یعنی . می خواهیم فرض را در مقابل آزمون کنیم. حال یک نمونه ی تصادفی n تایی اختیار می کنیم و فرض می کنیم تعداد هایی باشد که کمتر از هستند.
یعنی می توانیم علامت ، ، را در نظر بگیریم و فرض کنیم:
تعداد علامت های منفی
توجه شود که واقعاً به داده های با مقیاس فاصله ای نیاز نداریم، فقط باید بتوانیم پاسخها را برحسب کوچکتر از یا بزرگتر از رتبه بندی کنیم.
با فرض ؛ داریم بنابراین، احتمال یک علامت منفی تحت فرض صفر برابر است با . تحت فرض مقابل داریم:
بدیهی است که آماره ی T دارای توزیع دو جمله ای با پارامتر و بوده و به ازای
،
قضیه: فرض کنید و . آزمون در سطح برای در مقابل را در نظر بگیرید. فرض را رد می کنیم اگر:
که در آن تعداد علامت های منفی برای است.
۴-۳-۲- آماره آزمون علامت برای حالت چند متغیره
آزمون علامت برای آزمون فرضیات پیرامون چندکها استفاده می شود و در گذشته به دلیل اینکه در حالت چند متغیره ترتیب نقاط مشخص نبودند نمی توانستیم چندک ها را محاسبه کنیم، از اینرو نمی توانستیم از آزمون علامت برای حالت چند متغیره استفاده کنیم. در این رساله به روش های متفاوتی چندک ها را در حالت چند متغیره بدست آوردیم، بنابراین در اینجا قادر هستیم از آزمون علامت استفاده کنیم.
اگر یک نمونه تصادفی از یک توزیع متغیره با تابع توزیع و تابع چگالی باشد که حول متقارن است و فرض صفر را در نظر بگیرید، آنگاه آماره آزمون به شکل زیر می باشد: