که مدل بردار مازاد ورودی و بردار کمبود خروجی است. تمام مرجع های DMU₀ کارا هستند و ابرصفحه های تعریف کننده ای وجود دارند که شامل این DMU ها هستند. به عبارت دیگر، این مرجع ها همیشه روی سطوح کارا هستند.
دوآل مساله فوق که به فرم مدل جمعی معروف است به شکل زیر می باشد:

S.t.

(۲۴-۲)
همچنین فرم مضربی مدل جمعی CCR را می توان به صورت زیر نمایش داد:
s.t.

که و بترتیب s بردار و m بردار هستند.
فرم مضربی مدل جمعی BCC را می توان به صورت زیر نمایش داد:
s.t.

, آزاد
که و بترتیب s بردار و m بردار هستند.
از آنجایی که قید موجود در مدل فوق مشابه مدل BCC می باشد در نتیجه مجموعه امکان تولید مشابه مدل BCC است.
تعریف (۲-۴)
DMU₀ کارای جمعی است اگر و فقط اگر s^+*=0, s^-*=0
قضیه (۲-۲)
DMU₀ کارای جمعی است اگر و فقط اگر کارای BCC باشد. ()

خاصیت مدل جمعی

مهمترین خاصیت مدل جمعی پایداری انتقال (انتقال پایدار) می باشد. که شاید علت اصلی ایجاد این مدل خاصیت فوق باشد.
تعریف پایداری انتقال
برای هر مساله مفروض، یک مدل DEA دارای خاصیت پایداری انتقال می باشد اگر با انتقال داده های ورودی یا خروجی در یک مساله جدید همان جواب بهینه ای را داشته باشد که مساله قبلی (اصلی) داشته است.

در مدل جمعی در هر دو ماهیت ورودی و خروجی، انتقال پایدار وجود دارد زیرا ارزیابی کارایی در این مدل به مبدا مختصات بستگی ندارد. فرض کنید مجموعه داده های (x,y) را با بهره گرفتن از مقادیر ثابت β_r, α_i انتقال داده و داده های جدید را به صورت زیر بدست می آوریم:
اندازه کارایی مبتنی بر متغیر های کمکی (SBM)
اکنون با معرفی یک اندازه برای ارزیابی کارایی که تحت تغییر واحد اندازه گیری ورودی ها و خروجی پایا است، مدل جمعی را تقویت می کنیم. یعنی اندازه ای را معرفی می کنیم که با تغییر واحد اندازه گیری مثلا متر به کیلومتر تغییری نکند. به طور کلی ابزاری برای اندازه گیری که اگر x_io و x_ij با= x_io k_i x_io و k_ix_ij= x_ij وy_ro y_rj , با c_r y_ro = y_ro وc_r y_rj= y_rj تعویض شوند. K_i و c_r مقادیر ثابت هستند ، تغییری حاصل نگردد.
این خاصیت به عنوان مستقل از بعد و مستقل از واحد شناخته می شود. در این فصل چنین اندازه ای را برای مدل جمعی به شکل SBM تعریف که دارای خواص زیر می باشد:

1. 1. (P₁) این اندازه نسبت به واحد اندازه گیری عوامل ورودی و خروجی پایاست (مستقل از واحد).

1. 1. (P₂) این اندازه به طور یکنوا و بر حسب هر متغیر کمکی ورودی و خروجی کاهشی است (یکنواخت).

مدلهای FDH
مدلهای FDH اولین بار در سال ۱۹۸۴ به وسیله دیپرین و سیمار تولنکز ابداع شد. اساس کار بر مبنای اصل تحدب در ساختن PPS می باشد. به عبارت دیگر در این PPS ضرورتا ترکیب محدب دو امکان تولید متعلق به مجموعه ی امکان تولید نمی باشد. در نتیجه با قبول اصولی، شامل مشاهدات بی کرانی اشعه، امکان پذیری و کمینه درون یابی، PPS مدل FDH_c به صورت زیر تعریف می شود.

PPS_FDHC=
{(X,Y)│X ≥ λ_jⁱX_j&Y ≤ λ_jⁱY_j&λ_jⁱ ≥ ۰}
در نتیجه مدل FDH به صورت زیر خواهد بود.
Min MinӨ_j^k
(۲۰ - ۳)
S t. (a)λ_jkx_ij ≤ Ө_j^kx_ik , i = 1,…,m
(b) λ_jk x_rj ≥ y_{rk ,} r = 1,…,s

شکل (۳-۱۵) مجموعه امکان تولید FDH_c

امتیازات مدل های FDH

برای حل مدل های FDH نیازی به حل یک مساله برنامه ریزی خطی نیست. مقایسه ی زوجی به سادگی جواب بهینه را به دست می دهد.