در اين بخش براي راحتي كار ابتدا چند نتيجه از [12] را خاطرنشان مي‌كنيم.
ابتدا مشاهده مي‌كنيم كه اگر مجموعه ی -محدب در يك -جبريكاني  موجود باشد به طوري كه و

آن‌گاه و با  جابجا مي‌شود اگر معكوس پذير باشد.
براي ديدن اين مطلب قرار مي‌دهيم  و  آن‌گاه :
اکنون اگر فرض كنيم  يك تجزيه قطري براي ستون  باشد آن‌گاه :

به طوري كه  . چون  محدب  است و  و  معكوس‌پذير است، پس  معكوس‌پذير است در نتيجه :

پس  .
اکنون چون  و  معكوس پذيرند و  و  لذا طبق تعريف محدب  و اينكه  نتيجه مي‌شود كه  .
لم4-1-5، يك حالت ديگر از قضيه 1-4 در [‍6] است با اين تفاوت كه متناهي البعد بودن  را نياز نداريم. براي اثبات لم 4-1-5 ابتدا همين قضيه 1-4 از [6] و چند تعريف و قضيه ی لازم ديگر را بيان مي‌كنيم.
قضيه 4- 1-1: فرض كنيم  به طوری كه  يك مجموعه دلخواه است. اگر  يك نقطه فرين  در  باشد آنگاه یا  تحويل ناپذير است يا با بعضي از  ها هم ارز يكاني است. علاوه بر اين تصويرهاي موجودند كه  و و .
اثبات: [6] قضيه 1-4.
تعريف 4- 1- 2: اگر  يك عملگر روي فضاي هيلبرت  باشد آن‌گاه تصوير برد [  ]، تصوير  روي  است.
قضيه 4- 1- 3 (قضيه تقريب ديگزمير^[10]): اگر  يك جبر فون نويمان با مركز  باشد و  ، آن‌گاه  .
اثبات: [9] قضيه 5- 3- 8.
تعريف 4- 1- 4: اگر  يك زيرمجموعه از جبر  باشد جابجاگر  را به صورت  نشان مي‌دهيم و آن را به شكل زير تعريف مي‌كنيم.

لم 4-1-5: فرض كنيم  يك جبر فون نويمان و  يك زيرمجموعه محدب  و نرم-بسته از آن باشد و  به طوري كه  . اگر  آن‌گاه  توسط تصوير برد  از  تحويل يافته و  . به خصوص اگر  در  تحويل ناپذير باشد (يعني جابجاگر  در  تنها شامل اسكالرها باشد) و  آن‌گاه  .
اثبات:
اول از همه يادآوري مي‌كنيم كه منظور از  يعني نرم بستار يك مجموعه ی  . بنابراين اولاً چون  نرم بسته است  ثانيا چون  نيز محدب  است،.  بنابراين  . اما طبق قضيه تقريب ديگزمير (قضيه4- 1- 3) اگر  يك عنصر مركزي باشد آن‌گاه چون  پس در نتیجه  . بنابراين  شامل عنصرهاي مركزي است و توسط يك عنصر مركزي انتقال مي‌يابند. يعني اگر  يك عنصر مركزي باشد آن‌گاه  نيز محدب  است اگر و فقط اگر  محدب  باشد (طبق [10]، ملاحظه 4). چون  ، لذا طبق محدب  بودن ،  .
بنابراين براي هر  كه  و براي همه  نتيجه مي‌شود كه :
( 4-1 )
از طرفي چون  پس  . چراكه اگر  آن‌گاه  و به تناقض مي‌رسيم. بنابر این  و ريشه دوم آن قابل تعريف، مثبت و عضو  نيز مي‌باشد به طوري كه :

اکنون از رابطه ( 4-1 ) و محدب  بودن  نتيجه مي‌شود كه  .
با بهره گرفتن از تجزيه قطري براي ستون  داريم :

و با قرار دادن اين تجزيه در ،  به شكل زير تبديل مي‌شود.

چون  در نتیجه :
لذا  كه طبق همان دليل صفحه قبل نتيجه مي‌شود كه  .
اکنون براي هر
( 4-2 )
به طوري كه تجزيه قطري به صورت است، در نتیجه :

از آن جايي كه و معكوس پذيرند، و نيز معكوس‌پذيرند در نتیجه  نيز معكوس پذيراست (اگر  )، از طرفی از رابطه( 4-2 ) نتيجه مي‌شود كه . چونو برای  معكوس‌پذيراست و

,
پس براي طبق تعریف نتیجه می شود که .
اما از آن جايي كه :