که در آن
= تعداد ذرات پرتابه در واحد حجم باریکه .
= سرعت نسبی بین ذرات پرتابه و هسته های هدف .
دوم اینکه رابطه (۳-۳۰) را می توان در صورت معلوم بودن برای محاسبه بهره N فراورده سبک واکنش به کار برد.

(۳-۳۳)
این رابطه مبتنی بر این فرض است که بره به قدری نازک باشد که هیچ تقلیل قابل ملاحظه ای در باریکه اتفاق نیفتد.
در حالت کلی، یک ذره پرتابه و هدف مفروض می توانند به طرق مختلف واکنش کنند و انواع مختلف فراوده های سبک ، ، و. . . . . در واحد زمان تولید نمایند. در این صورت سطح مقطع کل با توجه به معادله (۳-۳۱) به صورت زیر تعریف می شود:
(۳-۳۴)
فصل چهارم
مدل شبه کوارکی و نگرشی جدید به واکنش های هسته ای
۴-۱- مقدمه
در فیزیک هسته ای مدل های قطره مایع و پوسته ای، دو مدل شناخته شده می باشند که علی رغم موفقیت شان در بیان برخی خواص هسته ای، ضعف های عمده ای نیز داشته اند.
مدل قطره مایع اولین بار توسط George Gamav پیشنهاد شد و توسط John Archibald و Niels Bohr توسعه داده شد [۲۷]. این مدل در بیان برخی خواص هسته موفق بوده است و انرژی بستگی هسته ای را ارائه می دهد، اما مدل قطره مایع در محاسبه اعداد جادویی نوکلئونی ضعف دارد.
مدل لایه ای یکی دیگر از مدل های هسته ای است که با بهره گرفتن از اصل طرد پائولی ساختار هسته را بر اساس سطوح انرژی بیان می کند. این مدل در توجیه اعداد جادویی ( ۲- ۸-۲۰ - ۲۸- ۵۰- ۸۲ و ۱۲۶) موفقیت چشمگیری داشت اما در محاسبه انرژی بستگی هسته ای موفقیتی کسب نکرد.
مدل های هسته ای دیگری در طی سالیان اخیر، به منظور توصیف جنبه های متفاوت هسته ها، توسط گروه های متعددی ارائه شده است. مانند مدل آلفا- ذره ای هسته ای [۲۸]، مدل خوشه ای هسته ای [۲۹]، مدل شبکه گازی هسته ای [۳۰و۳۱] و یکی از این مدل ها، مدل شبه- کوارکی (QLM ) می باشد که اخیرا ارائه شده است. این مدل توانسته است اعداد جادویی نوکلئونی را محاسبه نموده و همچنین عدد جادویی جدید ۱۸۴ را پیش بینی نماید. همچنین این مدل انرژی بستگی هسته ای را با بهره گرفتن از حالت کوارکی هسته ها بر حسب عدد جرمی و اتمی و جرم کوارک به دست می دهد [۳۲و۳۳].
۴-۲- مدل کوارکی و اعداد جادویی
مدل شبه کوارکی فرض بر این دارد که در محیط ترمودینامیکی پلاسمای کوارک - گلوئونی، کوارک های تقریبا مجزا سعی در تشکیل نوکلئون ها دارند و اگر بپذیریم که تعادل و پایداری هر سیستم ترمودینامیکی در بیشینه بی نظمی و بیشترین مقدار ترکیب ها رخ می دهد، آن گاه با در نظرگرفتن سیستم های جداگانه ای شامل یک کوارک مرکزی و تعداد ۲ ، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷ و نهایتا ۸ کوارک اطراف به حالت های بیشینه ای برابر با اعداد جادویی می رسیم. اگر پلاسمای کوارک - گلوئونی را به عنوان یک محیط ترمودینامیکی فرض نماییم بایستی تحقیق نمود این محیط ترمودینامیکی که همانند هر محیط دیگر از این نوع، به سمت بیشینه بی نظمی پیش می رود، چگونه به تعادل نزدیک می شود. اگر دقیق تر به محیط پلاسمای کوارک - گلوئونی نگاه کنیم، می بینیم که در سوپ کوارک گلوئونی آزادی محض وجود ندارد و این موضوع از نظریه کرومودینامیک کوانتومی شبکه ای شناخته شده است.
به عنوان مثال به شکل (۴-۱) توجه کنید. در این شکل کوارک ها همانند یک محیط شبکه ای در اطراف یکدیگر قرار دارند. کوارک u مرکزی برای تشکیل یک نوترون در حال تلاش است و برای این امر بایستی دو کوارک d را گیر بیندازد. اگر چنین فرض کنیم که از تمام کوارک های اطراف این کوارک u ، دو کوارک d باشند، آن گاه رقابت دو کوارک رقابت ساده ای است. در نگاه اول یک حالت ممکن بیشتر وجود ندارد و آن هم حالت udd است. در نگاه دقیق تر دو حالت وجود دارد، یعنی u قرمز به همراه آبی و سبز یا u قرمز به همراه سبز و آبی . پس دو حالت به دست می آید. حال شرایطی را در نظر بگیرید که سه کوارک d در اطراف u جهت پیوند با آن رقابت کنند. در چنین شرایطی ترکیبات ممکن عبارتند از : ، ، . اگر رنگ کوارک ها را نیز منظور کنیم ۶ حالت ممکن به وجود می آید که این ۶ حالت با ۲ حالت قبل روی هم ۸ حالت را نشان می دهند. ذکر این نکته لازم است که هر کدام از این حالت ها می تواند تشکیل یک نوکلئون بدهد ولی حداکثر حالاتی که می تواند با ۳ کوارک اتفاق بیفتد ، ۸ حالت است. مشابه حالت ۳ کوارکی عدد به دست آمده برای ۴ کوارکی ، برابر۲۰ می باشد [۳۴].
شکل (۴-۱): مدل کوارکی و اعداد جادویی
۴-۳- انرژی بستگی هسته ای براساس مدل شبه کوارکی
در مدل پلاسمای کوارک - گلوئونی دیدگاه جدیدی برای هسته ارائه شده است [۳۴و۳۵]. مدل کوارکی ساختار هسته را با در نظر گرفتن کوارک در هسته بررسی می کند.
در این دیدگاه هسته شامل پلاسمای سوپ مانند از کوارک ها و گلوئون ها می باشد که می توان خواص هسته را با توجه به کوارک های محتوایی به جای نوکلئون ها به دست آورد. یعنی هسته از نوکلئون ها و نوکلئون ها از ۳ کوارک تشکیل شدند و هر کوارک بار رنگی و بار الکتریکی را حمل می کند. در مدل شبه - کوارکی فرض بر این است که کوارک های درون هسته در یک حالت پلاسما قرار دارند.
کوارک up دارای بار الکتریکی و کوارک down دارای بار الکتریکی می باشد. نوترون ها از دو کوارک down و یک کوارک up و پروتون ها از دو کوارک up و یک کوارک down ساخته شده اند.
اگر یک پروتون و یک نوترون کنار یکدیگر قرار بگیرند دوترون تشکیل می شود که دوترون تشکیل شده باید به گونه ای باشد که بیشترین جفتیدگی را از لحاظ کوارکی داشته باشد. بنابراین هر کوارک up با یک کوارک down جفت می شود. این مدل توانست اعداد جادویی نوکلئونی را با توجه به دیدگاه شبه کوارکی به دست آورد.
به منظور به دست آوردن انرژی بستگی هسته ای با توجه به نگاه شبه کوارکی به نکات زیر توجه می کنیم:
۱- برای تشکیل هسته باید انرژی بستگی مثبت باشد.
۲- انرژی بستگی مثبت از مرتبه یک در صد انرژی جرم سکون کوارک های درون هسته می باشد که q نشان دهنده کوارک های بالا و پایین است.
۳- در این مدل انرژی بستگی با حجم پلاسمای کوارک - گلوئونی متناسب است. با توجه به این که هر نوکلئون از سه کوارک تشکیل شده است، لذا به ازای عدد جرمی A برای هر هسته ، انرژی بستگی هسته ای متناسب با A3 است.
۴- با توجه به عدم تقارن بین تعداد پروتون ها و نوترون ها، به خصوص در هسته های سنگین و در نظر گرفتن نیروی کولنی می توان این عدم تقارن و تصحیح کولنی را مابین کوارک های بالا و پایین موجود در پلاسمای کوارک گلوئونی درون هسته به صورت ( ) در نظر گرفت.
با در نظر گرفتن نکات فوق فرمول زیر برای محاسبه انرژی بستگی هسته ها B(Z,N) ارائه شده است [۳۶]:
(۴-۱)
(۴-۲)
که در فرمول بالا است که ضریب پایداری هسته ای نامیده می شود [۳۷].
در مقایسه با مدل قطره مایع که شامل هفت جمله در انرژی بستگی می باشد، این مدل شامل دو جمله در انرژی بستگی است که وابسته به N و Z است که حاکی از سادگی بیشتر و دید جامع تری نسبت به هسته است.
از طرفی مقادیر به دست آمده در این مدل که در جدول (۴-۱) آمده است ، نسبت به مدل قطره مایع به مقادیر تجربی نزدیکتر است [۳۷].
جدول (۴-۱): مقایسه انرژی بستگی هسته ای در مدل (INM ) با مدل قطره مایع و داده های تجربی[۳۷]